Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Oskulační kruţnice
p s
1 2 3
1 1 2 1 1 , 3
1 1 2
t
0
s k0
s ... n0
k0s
k0
s ... b0
k0
k0
s
6
2 6
6
1 3
...
tj.
4
1 1 2 3 s
x s s k
0
s
6 4!
4
1 1 2 1 1 3 s 1
1 3 1 2 2
y s k
0
s k
0
s k
0
k
0
k
0
k
0
. . .
2 6 4!
z s
1
6
1
k
0
2
k s
0
3
3
4
s
4!
1
k
0
1
k
0
. . .
1 2
k k k k
1 2
0
0
0
. . .
(7.2)
Rovnice (7.2) jsou tzv. kanonické rovnice křivky v okolí jejího bodu s = 0. Předpokladem je konvergence
uvedených řad. Známe-li první a druhou křivost jako dané funkce argumentu s, dále spojité funkce
1
k s
a
2
k s
jsou známé, pak stanovením počáteční polohy doprovodného trojhranu t, b, n je křivka
jednoznačně určena. Z kanonického tvaru lze snadno poznat kolmé průměty křivky do rovin průvodního
trojhranu v okolí zkoumané křivky. Dále je patrné přiblíţení nahrazované křivky dle počtu uvaţovaných členů
rozvoje. Pouţijeme-li pouze prvního členu kaţdého rozvoje, je křivka v okolí bodu nahrazena parabolou. Ve
druhém přiblíţení jde o kubickou (prostorovou) parabolu a pod.
Poznámka: Druhá křivost křivek " definuje " pravo - levotočivost křivek.
2 k > 0 . . . pravotočivá;
2 k < 0 . . . levotočivá.
7.2 Přirozené rovnice křivky
Z předcházejícího (7.2) plyne, ţe známe-li funkce
1 1 2 2
k k s a k k s , (7.3)
které jsou spojité a diferencovatelné do potřebných řádů je, aţ na určení polohy v prostoru, jednoznačně určena
křivka, která má 1 k za svoji první a 2 k za svoji druhou křivost. Veličiny s, 1 k a 2 k nazýváme přirozenými
souřadnicemi a rovnice (7.3), tj.
1 1 2 2
k k s a k k s
mezi 1 k , 2 k a s nazýváme přirozenými
rovnicemi křivky. Přirozené proto, ţe nezávisí na volbě souřadné soustavy.
Obecná formulace (bez důkazu) tohoto problému :
Jsou dány dvě spojité funkce
k k s 0 a k k s
1 1 2 2
, kde 1 k má spojitou nejméně
druhou a 2 k má spojitou nejméně první derivaci. Potom existuje jediná křivka těchto vlastností :
1. má s za oblouk a 1 k a 2 k za první a druhou křivost;
2. prochází libovolným, předem daným bodem s = 0;
3. má v tomto bodě libovolné, předem dané jednotkové a vzájemně kolmé vektory
t 0 , n 0 , b 0 za jednotkové vektory tečny, hlavní normály a binormály.
68