Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Křivky. Tečná a oskulační rovina
Lze ukázat, ţe v kaţdém regulárním bodě existuje právě jedna tečna. Jestliţe je křivka
popsána rovnicí (6.1), potom tečna sestrojená v bodě P(t 0 ) je rovnoběţná s vektorem p(t 0 ) a
má vektorovou rovnici
kde
y p(
t ) + p ( ) ,
=
0
t0
(- , + ) a y je označení pro průvodní vektor běţného bodu uvaţované tečny.
Doporučená animace: 6a Tecna krivky
Z fyzikálního hlediska bývá parametr t vyjadřován obloukem s. Je tím vyjadřována rychlost.
Stanovíme t tečnu křivky k v bodě [x, y, z ] zadané implicitními rovnicemi
f( x, y, z ) = 0 a g( x, y, z ) = 0. (6.4)
Křivku k můţeme vyjádřit parametrickými rovnicemi
V uvaţovaném okolí musí platit tyto dvě identity:
x = x( t ) , y = y( t ) , z = z( t ). (6.5)
f( x( t ), y( t ), z( t ) ) = 0, g( x( t ), y( t ), z( t ) ) = 0.
Derivováním dostaneme pro neznámé souřadnice
tečného vektoru křivky k v bodě [x 0 , y 0 , z 0 ] dvě rovnice
f
x
g
x
dx
d t
+
dx
d t
+
f
y
g
y
dy
d t
+
dy
d t
+
f
z
g
z
dz
dt
dz
dt
dx
dy
dz
, ,
dt
dt
dt
= 0
= 0
(6.6)
Algebraickým řešením těchto rovnic (aţ na násobek) je vztah
dx
d : d y
d : d z
t t dt
f f f f
y z
= : - x z :
g g g g
y z x z
f
x
g
x
f
y
g
y
(6.7)
Často je jedna z ploch určující křivku rovinou. V tom případě rovnice (6.4) mají tvar
Odtud potom rovnice (6.6) mají tvar:
Zápis hledaného řešení:
f( x ,y ) = 0, z = 0.
f
x
dx
f y
d t
+ d y dt
= 0 ,
d z
dt
= 0
57