Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Křivky. Tečná a oskulační rovina
Roviny , a tvoří doprovodný trojhran křivky k v bodě P. Tečna t, hlavní normála n a
binormála b tvoří hrany tohoto trojhranu.
Dále lze ukázat, ţe pojem oskulační roviny nezávisí na tom, zdali parametrem křivky byl
oblouk či nikoliv.
Doporučená animace: 6b Oskulační rovina křivky
Frenetovy vzorce. První křivost křivky
Budeme předpokládat, ţe křivku k máme danou vektorovou rovnicí
p = p(s), s I, (6.11)
kde parametr s je obloukem. Označíme p'(s) a p''(s) vektory rovnoběţné s oskulační rovinou
sestrojené v bodě P(s) křivky k. Vektor p''(s) budeme nazývat vektorem první křivosti křivky
v bodě P(s). Velikost tohoto vektoru budeme označovat 1 k(s) (stručně 1 k) a nazývat první
křivostí (flexí) křivky v bodě P(s). Pro určení velikosti vyjdeme z rovnice
která je splněna pro všechna s
dostaneme
tedy
p'. p' = 1,
I. Po derivaci obou stran rovnice podle parametru s
p".p' + p' . p" = 0
2 p' . p" = 0.
Toto však znamená, ţe v kaţdém bodě P(s) křivky k je vektor p"(s) buď nenulovým
vektorem kolmým na tečný vektor p'(s), nebo nulovým vektorem. Předpokládejme první
moţnost. To je p" 0 a p" p'. Je zřejmé, ţe tomu tak můţe být pouze tehdy, jestliţe
vektor p" je rovnoběţný s hlavní normálou n křivky k (Obr. 6.3).
Obr. 6.3
60