Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Oskulační kruţnice
Oskulační kruţnice rovinné křivky
Vyjdeme z předpokladu, ţe druhá křivost 2 k = 0. Dále budeme pouţívat pouze k na místo 1 k a r místo 1 r pro
první křivost. Nechť je tedy křivka dána rovnicí p = p(s) v rovině z = 0. Pro směrové kosiny jednotkového
tečného vektoru t potom platí
x cos , y sin , z 0 . (7.11)
Pro směrové kosiny normály (máme na mysli hlavní normálu; pojem binormály u rovinných křivek nezavádíme)
platí :
Obr. 7.3 Obr. 7.4
r x
cos
2
sin
y
,
r y
r z
sin
2
cos x ,
0 .
(7.12)
Vyjdeme-li z Frenetových vzorců
t’ = kn
n’ = -kt
pro náš případ rovinných křivek dostaneme výrazy
x’’ = -ky’
y’’ = kx’
(7.13)
U těchto rovinných křivek místo průvodního trojhranu je pouţíváno pojmu dvojhran tvořeného tečnou a
normálou.
Na obrázku číslo 7.3 je zaveden pojem subtangenty s t a subnormály s n . Pro konstrukci oskulační kruţnice platí
následující věty :
3) Křivka y = y(x) má v bodě [x,y], pro který platí y 0 (tj. jsou vyloučeny inflexní body), oskulační
kruţnici, jejíţ poloměr r a souřadnice s x, s y středu jsou dány výrazy
73