Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Dělící poměr, dvojpoměr
Harmonickou čtveřinu bodů tvoří body, jejichţ dvojpoměr je roven -1.
(ABCD) = -1 => 1
body A,B,C a D tvoří harmonickou čtveřinu bodů.
Obr. 1.4
Harmonickou čtveřinu bodů můţeme snadno konstruovat pomocí tzv. úplného čtyřrohu.
Mějme v rovině čtyři různé body A, B, C a D, kde ţádné tři neleţí na jedné přímce (viz
obrázek 1.4). Spojením vrcholů (resp. jejich prodlouţením) dostaneme průsečíky X, Y a Z,
které tvoří tzv. diagonální trojúhelník, kde body X, Y a Z se nazývají diagonální vrcholy.
Sestrojíme průsečíky strany diagonálního trojúhelníka se stranami čtyřrohu.
Na obrázku 1.4 je označeno Y 1 a Y 2 .
Ukáţeme, ţe platí:
(ABYY 1 ) = (CDYY 2 ) = -1. Označíme (CDYY 2 ) = .
(III)
Promítneme-li body C, D, Y, Y 2
rovnost:
z bodu Z na spojnici AB, dostaneme (dle Pappovy věty)
(CDYY 1 ) = (BAYY 2 ) =
Jestliţe tytéţ body promítneme z bodu X na spojnici AB, dostaneme:
2
1 1 1
CDYY ) ( BAYY )
.
(IV)
( ABYY )
(
1
Z (III) a (IV) plyne, ţe = 1/ , tedy
2 = 1. Řešením této rovnice tedy je = -1.
Řešení = +1 nevyhovuje, protoţe body Y a 1 Y jsou různé.
Na základě Pappovy věty můţeme definovat dvojpoměr čtyř přímek a, b, c a d, jednoho
svazku tak, ţe jsou protnuty libovolnou přímkou p (nenáleţící svazku) právě v bodech A, B, C
a D. Potom dvojpoměr přímek a, b, c a d je rovný dvojpoměru bodů A, B, C a D. Obdobně
můţeme definovat dvojpoměr čtyř rovin , , a patřících jednomu svazku rovin.
Doporučená animace: 1b Harmonicka ctverina bodu
8