Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Křivky. Tečná a oskulační rovina
dx
d : d y
d : d z
t t dt
f f
= : - : 0
y y
Příklad 1. Napište rovnici tečny v bodě T[3; 4; 0] křivky dané implicitně:
f x 2 + y 2 + z 2 - 25 = 0, g x + y + z - 7 = 0.
Vypočteme aplikací (6.6) :
f
f
f
6 , 8 , 0 ,
x T
y T
z T
g
x T
g
g
1 , 1 , 1 ,
y T
z T
Soustava (6.6) má tvar:
6
dx
dt
dx
dt
dy
8
dt
dy
dt
+
d z
dt
Řešením je vektor (8, -6, -2). Tečna v bodě T zapsána vektorovou rovnicí je:
= 0
= 0
y = (3, 4, 0) + (8, -6, -2), kde (- , + ).
6.2 Oskulační rovina křivky
Kaţdá rovina, která prochází tečnou dané křivky, se nazývá tečnou rovinou křivky.
Dotykovým bodem je dotykový bod křivky, kterým jsme vedli tečnu. (Tečné roviny tvoří
svazek rovin.) Jediná tečná rovina (z tohoto svazku rovin) se nazývá oskulační rovina.
Na obr. 6.1 je zobrazena rovina (h), která je určena tečnou t a spojnicí bodů
58
P P
. Zmíněný
svazek tečných rovin je tedy určen tečnou t. Jednotlivé tečné roviny jsou tedy dány tečnou t a
pohyblivým bodem P na křivce k. Jestliţe bod P se pohybuje po křivce tak, ţe se blíţí k
bodu P(t 0 ), potom v limitním případě, kdy pohyblivý bod P splyne s bodem P se tato tečná
rovina nazývá oskulační rovinou křivky k. Je moţno ukázat, ţe křivka, která není přímkou
nebo její částí, má právě jednu oskulační rovinu. V opačném případě má křivka nekonečně
mnoho "oskulačních" rovin a v tom případě pojem oskulační rovina nezavádíme.
Oskulační rovina (h) je určena bodem P(t 0 ) a dvěma různoběţnými vektory, které jsou s
touto rovinou rovnoběţné