Studijní text [pdf] - Personalizace výuky prostřednictvím e-learningu

Oskulační kruţnice
7. OSKULAČNÍ KRUŢNICE
Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete znát
rovnice křivek definované délkou oblouku a křivostí
definovat doprovodný trojhran prostorových křivek
Výklad
V počítačové grafice jsou často rovinné i prostorové křivky nahrazovány (po částech)
úsečkami nebo oblouky. A to oblouky kruhovými nebo kuţelosečkami (parabolou). Pro
parametry těchto „náhradních“ křivek je třeba znát a) rovinu nahrazující křivky a b) poloměr
kruhového oblouku. V této části jsou uvedeny prostředky, jak potřebné parametry získat. Za
tím účelem je třeba znát některé další formy rovnic křivek.
7.1 Kanonické rovnice křivky
Vyjdeme z rovnice křivky p = p(s) a z poznatku p' = t. Potom dalším derivováním průvodiče p(s) podle s a za
pouţití Frenetových vzorců získáme p" = t' = 1 kn a dále potom
p
1
k
2
n
1
k
n
1 1 2 1 1
k t k n
2
1
k
k k b.
Pro p(s) pouţijeme rozvoje v mocninou řadu v okolí bodu s = 0. To je v okolí p 0 = p(0) tedy
, 1 ,, 2 1 ,,, 3
p s p0 p0
s p0
s p0
s ...
(7.1)
2 6
Dosadíme-li za p
,
, p
,,
, p
,,,
. . . právě nalezené výrazy a ztotoţníme v bodě s = 0 zkoumáním křivky
0 0 0
vektory t0 , n0 , b0
se souřadnicovými vektory u, v, w dostaneme výraz
1 1 2 1 3 1 2 1 ' 1 2
p s t0
s k0 n0
s s k0
t0
k0 n0
k0
k b
2
6
Po uspořádání dle t0 , n0 , b0
dostaneme
0 0
. . .
67