Anfangsverformungs- und Alterungsverhalten von Dual-Phasen Stahl

Energieminimierung und Sättigungskonzentration
Der gesamte Energieinhalt einer Versetzung mit einem gefangenen Kohlenstoffatom ergibt
sich zu (D = Versetzung bzw. dislocation, C = Kohlenstoffatom) [19]
U = U D + U DC + U C mit (4.2)
U D = − 1 ∫
∑
σik D 2
εD ik dV , (4.3)
V
i,k
∫
∑
U DC = − σik D εC ik dV und (4.4)
V
U C = − 1 2
i,k
∫
∑
V
i,k
σ C ikε C ik dV , (4.5)
wobei U D die Eigenenergie des Verzerrungsfelds der Versetzung, U C die Eigenenergie der
Verzerrung des Eisengitters aufgrund der Einlagerung des Kohlenstoffatoms und U DC die Interaktionsenergie
der beiden Verzerrungsfelder ist. ε D ik und εC ik sind die Verzerrungstensoren
der Versetzung resp. des Gitters um das Kohlenstoffatom und σik D bzw. σik C die Spannungstensoren.
Im hier betrachteten Bereich der Kohlenstoffkonzentration bis etwa 6 Atom% ist die durchschnittliche
elastische Verzerrung des Eisengitters aufgrund der Einlagerung von Kohlenstoffatomen
proportional zur Anzahl der Kohlenstoffatome im betrachteten Volumen [47]. Die
Gleichung (4.2) lässt sich damit in eine Gleichung für eine Energiedichte u weiterentwickeln:
u(Γ) = u D + Γ · u DC + Γ 2 · u C . (4.6)
Dabei ist Γ die Anzahl der Kohlenstoffatome pro krz-Einheitszelle. Die Eigenenergiedichte
u C geht mit Γ 2 ein, da sowohl das Spannungsfeld als auch das Verzerrungsfeld aufgrund
des eingelagerten Kohlenstoffs proportional zu Γ sind. Ein Energieminimum der Energiedichte
u(Γ) stellt sich bei dem Γ ein, für welches die Ableitung
∂u
∂Γ = u DC + 2Γu C (4.7)
gleich Null ist. Beim Energieminimum ist das verzerrte Eisengitter mit Kohlenstoffatomen
gesättigt, Γ = Γ S :
Γ S = − u DC
2u C
. (4.8)
Simulation des Diffusionsprozesses mit Finiten Elementen
Mit Hilfe von Γ S lässt sich eine Sättigungskonzentration c S der Kohlenstoffatome in Abhängigkeit
vom Ort im Gitter und damit die Diffusion der Kohlenstoffatome zu den Versetzungen
berechnen. Zu Beginn der Rechnung wird eine gleichmäßige Verteilung der Kohlenstoffatome
im Gitter nach dem Abkühlen von der interkritischen Glühung angenommen. Für
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