Daten zur probabilistischen Sicherheitsanalyse für Kernkraftwerke ...

Die 5% bzw. 95% Verteilungsfraktile erhält man unter Nutzung der Beziehung zwischen Beta- und
F-Verteilung (vgl. /ABR 84/)
2k + 1
u =
Gl. 3-24
γ
2k + 1+
2 n
( − k +
1 ) F [ 2( n − k)
+ 1, 2k + 1]
2
γ
wobei γ = 0,95 für das 95 % Fraktil und γ = 0,05 für das 5 % Fraktil zu wählen ist.
° Fall 2:
Analog zur Behandlung der Ausfallraten stellt das Ergebnis (Gl. 3-22) in diesem Fall nicht das
Endergebnis dar, sondern die a-priori-Verteilungsdichte. Für diese erhält man bei
binominalverteilten Ausfallwahrscheinlichkeiten /MAR 81/:
( ⏐E
)
g u
=
Γ
( n + m + 1)
( k + n +
1) ⋅ Γ( n + m − k − x +
1)
2
Γ
2
⋅u
( k+
1+
x)
2
−1
( ) ( n+
m−k−x+
1 u
1 ) −1
−
2 ( 0 < u < 1)
Gl. 3-25
Dabei ist k die Anzahl der Ausfälle und m die Anzahl der Anforderungen in der anderen Anlage.
Als Erwartungswert ergibt sich in diesem Fall
1
1
E[] u f( )
2
0 +
k + x +
= uE u du =
Gl. 3-26
∫
n + m 1
Die 5% bzw. 95% Fraktile der Verteilung erhält man unter Nutzung der Beziehung zwischen Betaund
F-Verteilung (vgl. /ABR 84/)
u
γ
=
2k
+ 2x
+ 1+
2
2k
+ 2x
+ 1
( n + m − k − x + ) ⋅F
2( n + m − k − x)
[ + 1,
2k
+ 2x
1]
1 2 γ
+
Gl. 3-27
wobei γ = 0,95 für das 95 % Fraktil und γ = 0,05 für das 5 % Fraktil zu wählen ist.
Die voranstehenden Beziehungen setzen voraus, wie bereits gesagt, dass die Komponenten in
den verschiedenen Anlagen und ihre Betriebs- und Umgebungsbedingungen hinreichend ähnlich
sind.
° Fall 3:
Falls nur eine gewisse Ähnlichkeit vorliegt, ist die Benutzung des "empirischen Bayes" /MAR 81/
oder des Superpopulationsansatzes /BEC 02/, der allerdings für Ausfallwahrscheinlichkeiten zu
modifizieren wäre, zu empfehlen.
° Fall 4:
Der vierte Fall wird analog dem ersten Fall, d.h. mit nicht informativen a-priori-Verteilung
behandelt. Dabei ist in der Gl. 3-22, Gl. 3-23 und Gl. 3-24 x durch k und n durch m zu ersetzen.
Allerdings sind in einem solchen Fall ebenfalls der "Superpopulationsansatz" oder der "empirische
Bayes" zu empfehlen.
Wie bereits in Gl. 3-2 ausgeführt, erhält man für Gl. 3-24 bzw. für Gl. 3-27 Darstellungen durch die
χ 2 -Verteilung in Analogie zu Gl. 3-2 und Gl. 3-3, wenn jeweils die Binomialverteilung der
Grundgesamtheit durch eine Poissonverteilung angenähert werden kann.
Die Einhaltung der oben genannten Bedingungen ist ingenieurmäßig und statistisch zu überprüfen.
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