Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

1.5. Intervallschachtelungen
– Zu jeder unitären Matrix Q ∈ K n×n gibt es eine unitäre Matrix S ∈ K n×n , so dass
(λ 1 , ..., λ n ∈ R Eigenwerte von A):
⎛ ⎞
λ 1 0
S −1 QS = t ⎜
SQS = ⎝
. ..
⎟
⎠
0 λ n
Die Matrix S besteht aus einer Basis von Eigenvektoren.
– unitäre Matritzen Q, Q 1 , Q 2 ∈ K n×n sind insbesondere regulär (voller Rang) und es
gilt:
‖Qx‖ = ‖Q‖ ⇒ ‖Q‖ = 1
(
Qx, Qy
)
2 = ( x, y ) 2 , x, y ∈ Kn .
• Positiv Definit für Matrizen: Eine Matrix A ∈ K n×n heißt positiv definit, wenn gilt:
(Ax, x) 2 ∈ R, (Ax, x) 2 > 0 ∀x ∈ K n \{0}
Eine hermite’sche Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle ihre (reellen) Eigenwerte
positiv sind.
• Störungssatz: Die Matrix B ∈ K n×n habe die Norm ‖B‖ < 1. Dann ist die Matrix E n + B
regulär und es gilt:
∥ (En + B) −1∥ ∥ ≤
1
1 − ‖B‖
• Sei A ∈ K n×n regulär und B ∈ K n×n mit ∥ ∥ A −1 B ∥ ∥ < 1. Dann ist auch A + B regulär
1.5 Intervallschachtelungen
• Definition:
Eine Intervallschatelung ist eine Folge von (abgeschlossenen) Intervallen I n := [a n , b n ] mit:
1. I n+1 ⊂ I n
2. Zu jedem ɛ > 0 gibt es ein Intervall I n mit Länge |b n − a n | < ɛ.
• Intervallschachtelungseigenschaft:
Zu jeder Intervallschachtelung I n in R gibt es ein a ∈ R mit: a ∈ I n
∀n ∈ N
• Trennungseigenschaft des R:
Zu zwei Teilmengen A, B ⊂ R mit. a ≤ b, ∀a ∈ A, b ∈ B gibt es ein s ∈ R, dass a und B
trennt, d.h. a ≤ s ≤ b, ∀a ∈ A, b ∈ B.
Die Trennungeigenschaft ist zur Vollständigkeit von R äquivalent
1.6 Eigenschaften von Teilmengen des K und des K n
• Durchmesser einer Menge: Für Eine Menge M ⊂ K n ist ihr Durchmesser definiert als:
diam(M) := sup {‖x − y‖ 2
, x, y ∈ M} .
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 9 –