Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de
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KAPITEL 11<br />
Kurven- Flächen- und Volumenintegrale<br />
11.1 Inhaltsmessung von Mengen <strong>de</strong>s R n<br />
11.1.1 Grundlagen<br />
Im folgen<strong>de</strong>n soll ein Maß für <strong>de</strong>n Inhalt |M| von Mengen M ⊂ R n <strong>de</strong>finiert wer<strong>de</strong>n. Dieser Inhalt<br />
sollte folgen<strong>de</strong> Eigenschaften aufweisen:<br />
1. Positivität: |M| ≥ 0.<br />
2. Bewegungsinvarianz: |M| = |M ′ |, wenn M und M ′ isometrisch (kongruent) sind, d.h. durch<br />
eine abstandserhalten<strong>de</strong> Transformation wie Verschiebung, Drehung und Spiegelung <strong>de</strong>s R n<br />
ineinan<strong>de</strong>r überführt wer<strong>de</strong>n können.<br />
3. Normierung: Der Einheitswürfel W 1 = [0, 1] n hat <strong>de</strong>n Inhalt |W 1 | = 1.<br />
4. Additivität: M ∩ N = ∅ ⇒ |M ∪ N| = |M| + |N|.<br />
Es ist zu beachten, dass man zwar im R und R 2 je<strong>de</strong>r Menge einen Inhalt mit obigen Eigenschaften<br />
zuordnen kann, die aber schon im R 3 nicht mehr unbedingt möglich ist.<br />
• Intervallsummen: Für Intervallsummen S ∈ S mit einer nichtüberlappen<strong>de</strong>n Darstellung S =<br />
m⋃<br />
I k ist <strong>de</strong>r Inhalt erklärt durch:<br />
k=1<br />
|S| :=<br />
m∑<br />
|I k | .<br />
k=1<br />
Diese Definition hat offensichtlich folgen<strong>de</strong> Eigenschaften:<br />
– S ⊂ S ′ ⇒ |S| ≤ |S ′ |<br />
– |S ∪ S ′ | ≤ |S| + |S ′ |<br />
– S ∩ S ′ = ∅ ⇒ |S ∪ S ′ | = |S| + |S ′ |<br />
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@<strong>jkrieger</strong>.<strong>de</strong>) – 66 –
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