Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

10.1. Partielle Ableitung
• HESSE-Matrix (Matrix der zweiten partiellen Ableitungen): Sei D ⊂ R n eine offene Menge
und f : D → R eine zweimal partiell diff’bare Funktion. Die Matrix der zweiten partiellen
Ableitungen heißt Hesse-Matrix von f im Punkt x ∈ D
Man schreibt H f (x) = ∇ 2 f(x).
H f (x) := ( ∂ i ∂ j f(x) ) n
i,j=1 ∈ Rn×n
Hier das ganze in Matrixschreibweise, nur um jeglichen Verwirrungen vorzubeugen:
⎛
⎞
∂ 11 f(x) · · · ∂ 1n f(x)
⎜
⎟
H f (x) := ⎝ .
. ⎠ ∈ R n×n .
∂ n1 f(x) · · · ∂ nn f(x)
10.1.3 Totale Differenzierbarkeit
• totale Differenzierbarkeit: Sei D ⊂ R n eine offene Menge. Eine Abbildung f : D → R m
heißt in einem Punkt x ∈ D total differenzierbar (oder einfach differenzierbar), wenn es eine
lineare Abbildung Df(x) : R n → R m×n (das sog. Differential von f) gibt, so dass in einer
Umgebung von x gilt:
f(x + h) = f(x) + Df(x) · h + ω(h), h ∈ R n , x + h ∈ D,
mit einer Funktion ω : D → R m der Art
‖ω(h)‖
lim
x+h∈D,‖h‖→0 ‖h‖
Diese Beziehung schreib man auch abgekürzt in der Form ω(h) = o(‖h‖). Das Differential
von f ist gerade die Funktionalmatrix von f:
Df(x) = J f (x).
= 0.
• Differenzierbarkeit: Sei D ⊂ R n offen. Für Funktionen f : D → R m gilt:
1. Ist f in x ∈ D diff’bar, so ist es auch partiell diff’bar.
2. Ist f stetig partiell diff’bar in einer Umgebung von x ∈ D, so ist es dort auch diff’bar.
• Richtungsableitung: Sei D ⊂ R n offen und f : D → R im Punkt x ∈ D diff’bar. Dann
existiert für jeden Vektor v ∈ R n mit ‖v‖ 2
= 1 die ABleitung in Richtung v (Sog. Richtungsableitung):
∂f
∂v (x) = ∂ f(x + tv) − f(x)
vf(x) = (∇f(x)) · v := lim
.
t→0 t
Da ∇f(x) in die Richtung der größten Steigung von f zeigt, ist die Richtungsableitung parallel
zu ∇f(x) maximal.
• Kettenregel: Seien D f ⊂ R n und D g ⊂ R m offene Mengen und g : D g → R r und f : D f →
R m Abbildungen. Ist g im Punkt x ∈ D g und die Abbildung f im Punkt g(x) diff’bar, so ist die
Komposition h := f ◦ g im Punkt x diff’bar und es gilt:
Dh(x) = Df(g(x)) · Dg(x).
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 56 –