Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

7.2. FOURIER-Entwicklung
• Konvergenz einiger wichtiger Reihen:
– Auf jedem Intervall [δ, 2π − δ] mit δ > 0 konvergiert die folgende Reihe gleichmäßig:
∞∑ sin(kx)
= π − x .
k 2
k=1
k=1
– Die folgende Reihe konvergiert gleichmäßig für x ∈ R. Insbesondere gilt im Fall x = 0:
∞∑
( ) 2 ∞
cos(kx) x − π
= − π2
k 2 2 12 ; x = 0 : ∑ 1
k = π2
2 6 .
• Konvergenz der FOURIER-Reihe gegen Treppenfunktionen: Sei f ∈ R[0, 2π] eine 2πperiodische
Treppenfunktion. Dann konvergiert ihre Fourier-Reihe F f ∞ im quadratischen Mittel
gegen f.
• Vollständigkeitsrelation: Sei f ∈ R[0, 2π] eine 2π-periodische Funktion. Dann konvergiert
ihre Fourier-Reihe im quadratischen Mittel gegen f und mit ihren Fourier-Koeffizienten c k gilt
die sog. Vollständigkeitsrelation:
∞∑
2π |c k | 2 = ‖f‖ 2
k=−∞
Zum Beweis: Man konstruiert eine Einschließung der Funktion f durch zwei Treppenfunktionen,
von denen eine die Funktion nach oben und eine nach unten abgrenzt.
Achtung: Die L 2 -Konvergenz impliziert nicht die punktweise oder gleichmäßige Konvergenz
der Reihe gegen die zugehörige Funktion f. Damit ist die Frage der Darstellung der Funktion
durch ihre Fourier-Reihe (= punktweise Konvergenz) nicht ganz geklärt.
• Ein Konvergenzkriterium für FOURIER-Reihen: Die Fourierreihe einer stetigen Funktion
f ∈ R[0, 2π] konvergiert absolut und gleichmäßig gegen f, wenn für die Fourierkoeffizienten
c k gilt:
∑
|c k | < ∞
Dies folgt aus der Abschätzung:
∣
n∑
k=−n
k∈Z
c k e ikx ∣ ∣∣∣∣
≤
n∑
k=−n
|c k |
k=1
• Sei f ∈ R[0, 2π] eine 2π-periodische Funktion, die in [0, 2π] bis auf endlich viele Ausnahmestellen
x 1 , ..., x m diff’bar ist, mit stückweise definierter Ableitung ˜f ′ ∈ R[0, 2π]. Dann konvergiert
die Fourier-Reihe von f auf ganz [0, 2π] punktweise gegen f und gleichmäßig auf jedem
abgeschlossenen Teilintervall, auf dem f stetig ist. Insbesondere gilt in jeder dieser Ausnahmestellen
ξ := x k :
F f n(x) → f(ξ −) + f(ξ + )
(n → ∞).
2
Dabei sind f(ξ ± ) die links- bzw. rechtsseitigen Limites gegen die Unsettigkeitsstelle ξ:
f(ξ ± ) := lim
h↓0
f(ξ ± h).
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 46 –