Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

11.2. Das RIEMANN-Integral im R n
• RIEMANN-Integrierbarkeit stetiger Funktionen: Sei D ⊂ R n quadrierbar und f : D → R
beschränkt und in D fast überall stetig, d.h. überall, bis auf eine Nullmenge N ⊂ D. Dann ist f
integrierbar über D. Insbesondere folgt aus f ∈ C(D) und sup |f(x)| < ∞ die Integrierbarkeit
x∈D
von f.
• Dreiecksungleichung: Sei D ⊂ R n quadrierbar und f integrierbar über D. Es gilt:
∫
∫
∣ f(x)dx
∣ ≤ |f(x)| dx.
11.2.2 Schranken- und Mittelwertsätze
D
• Schrankensatz: Sei D ⊂ R n quadrierbar. Ist f integrierbar über D und ist m ≤ f(x) ≤ M, x ∈
D, so gilt:
∫
m · |D| ≤ f(x)dx ≤ M · |D| .
Allgemeiner gilt für f, g integrierbar über D mit g ≥ 0:
∫
∫
∫
m · g(x)dx ≤ f(x)g(x)dx ≤ M ·
D
D
D
D
D
g(x)dx.
Die erste Beziehung folgt mit der speziellen Gewichtsfunktion g(x) = 1.
• Mittelwertsatz: Sei D ⊂ R n quadrierbar und f auf D integrierbar. Dann gibt es eine Zahl
µ ∈ R mit inf f(x) ≤ µ ≤ sup f(x), so dass:
x∈D x∈D
∫
f(x)dx = µ |D| .
D
Ist darüberhnaus D kompakt und zusammenhängend und ist f stetig, so gibt es ein ξ ∈ D mit
µ = f(ξ).
11.2.3 Zusammenhang zwischen RIEMANN-Integral und JORDAN-Inhalt
• Ordinatenmenge/Normalbereich: Sei D ⊂ R n quadrierbar und f : D → R eine nichtnegative
Funktion. Dann ist die zugehörige Ordinatenmenge definiert als:
M(f) := { (x, t) ∈ R n+1∣ ∣x ∈ D, 0 ≤ t ≤ f(x) } .
Für Funktionen f : D ⊂ R → R entspricht dies der Fläche unter dem Funktionsgraphen.
Allgemeiner definiert man für zwei Funktionen f, g : D → R mit f ≥ g den sog. Normalbereich:
M(f, g) := { (x, t) ∈ R n+1∣ ∣x ∈ D, g(x) ≤ t ≤ f(x) } .
Für Funktionen f, g : D ⊂ R → R entspricht dies der Fläche zwischen den Funktionsgraphen.
• Sei D ⊂ R n quadrierbar und f, g : D → R beschränkt und integrierbar mit f ≥ g. Dann ist der
Normalbereich M(f, g) ⊂ R n+1 in R n+1 quadrierbar mit:
∫
( )
|M(f, g)| = f(x) − g(x) dx.
D
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 73 –