Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

3.2. Konvergenzkriterien
∑
2. Die Reihe ∞ a n konvergiert absolut, genau dann wenn:
n=0
∣ a k+1 ∣∣∣
∣ ≤ c k+1
a k c k
für fast alle n ∈ N
Aus der Divergenz von ∑ n
a n folgt ebenfalls die Divergenz von ∑ n
c n .
• Quotientenkriterium: Sei
∞∑
a n eine Reihe mit a n ≠ 0 für alle n ≥ N 0 . Es gebe eine reelle
n=0
Zahl θ mit 0 < q < 1, so dass
∣ a n+1 ∣∣∣
∣ ≤ q < 1 für alle n > N 0
a n
Dann konvergiert die Reihe ∑ n a n absolut.
Beispiel: Die Konvergenz der Reihe ∞ ∑
n=0
n 2
2 n folgt aus dem Quotientenkriterium.
∑
• Wurzelkriterium: Eine Reihe ∞ a k konvergiert absolut, wenn es ein 0 < q < 1 und ein
k=1
N 0 ∈ N gibt, so dass für alle n ≥ N 0 gilt:
√
n
|an | ≤ q < 1.
Sie divergiert absolut, wenn für alle n ≥ N 0 gilt:
√
n
|an | > 1
• Beispiel: Wurzelkriterium ist stärker als das Quotientenkriterium:
Man betrachte die folgende Reihe (a n ) n∈N :
{
2 −1 n gerade
a n :=
3 −n n ungerade
Für das Wurzelkriterium und Quotientenkriterium erhält man je zwei Fälle, nur das Wurzelkriterium
impliziert mit diesen Fällen auch die Konvergenz:
– Quotientenkriterium:
⎧
∣ ∣ a n+1 ∣∣∣ ⎨
∣∣ 2−(n+1)
3 =
1
∣ =
· ∣∣ ∣
3 n
−n 2 2 =
1 · ∣∣ ∣
3 n
n 2 2 =
1 · ∣∣ 3∣ n → ∞ (n → ∞).
∣ n 2 2
a n ⎩
∣∣
∣ 3−(n+1)
2 =
1 · ∣∣ ∣
2 n
= 1 · ∣∣ ∣
2 n
= 1 · ∣∣ 2∣ n → 0 (n → ∞).
−n 3 3 n 3 3 n 3 3
– Wurzelkriterium:
√
n
|an | =
{
n√
2
−n
= 1 2 < 1
n√
3
−n
= 1 3 < 1 2 < 1
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 19 –