Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

11.3. Parameterabhängige Integrale
• Kugelvolumen: Das Volumen der Einheitskugel des R n
K (n)
1 (0) = { x ∈ R n∣ ∣ ‖x‖2 < 1 }
ist gegeben durch die folgenden Formeln für gerades n = 2m bzw. ungerades n = 2m + 1:
|K (n) πm
1
(0)| =
m! , |K(n) 1 (0)| = 2 m+1 π m
1 · 3 · 5 · ... · (2m + 1) .
Die Volumen der Kugeln scheinen mit steigender Dimension anzusteigen. Dies ist aber ein
Trugschluss. Obige Formeln zeigen, dass |K (n)
1
(0) → 0 (k → ∞). Die Volumina der Würfel
[−1, 1] n ⊂ R n , mit 2 n gegen unendlich gehen. Diese Volumina entsprechen den Volumina der
Einheitskugeln bzgl. der Maximumsnorm!
11.2.7 Uneigentliches RIEMANN-Integral
• Ausschöpfende Folgen von Mengen: Für eine Menge M ⊂ R n heißt eine monoton wachsende
Folge (M k ) k∈N von quadrierbaren Teilmengen M k ⊂ M ausschöpfend, wenn für jede r-Kugel
K r (0) := { x ∈ R n∣ ∣ ‖x‖2 < r } gilt:
lim ∣ ( M ∩ K r (0) ) ∣
\M ∣a k = 0.
k→∞
• uneigentliches RIEMANN-Integral: Sei D ⊂ R n eine beliebige Menge (nicht notwendig beschränkt).
Eine Funktion f : D → R heißt über D uneigentlich integrierbar, wenn mit der
Notation
Q f := { M ⊂ D ∣ ∣ M quadrierbar und f integrierbar über M
}
gilt:
∫
M
|f(x)| dx ≤ γ, M ∈ Q f ,
und wenn es eine bzgl. D ausschöpfende Folge von Mengen D k ⊂ Q f gibt mit
∫
∫
f(x)dx := lim f(x)dx.
k→∞
D k
D
Der Limes heißt dann das uneigentliche Riemann-Integral von f über D.
• Sei D ⊂ R n eine beliebige Menge und f : D → R uneigentlich integrierbar. Dann ist für jede
ausschöpfende Folge (D k ) k∈N
∫
∫
f(x)dx = lim f(x)dx.
D
k→∞
D k
D.h. das uneigentliche Integral ist unabhängig von der gewählten ausschöpfenden Folge.
11.3 Parameterabhängige Integrale
Im folgenden werden parameterabhängige Integrale der folgenden Form betrachtet:
∫
F(x) := f(x, y)dy, x ∈ D x
D y
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 76 –