Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

10.2. TAYLOR-Entwicklung im R n
10.2 TAYLOR-Entwicklung im R n
• Multi-Index-Notation: Für n-Tupel α = (α 1 , ..., α n ) ∈ N n 0
wird gesetzt:
Für x = (x 1 , ..., x n ) ∈ R n wird gesetzt:
|α| := α 1 + ... + α n ; α! := α 1 ! · ... · α n !
x α := x α 1
1
· ... · x αn
n
Für eine |α|-mal stetig diff’bare Funktion wird gesetzt:
D α f := ∂ α 1
1
· ... · ∂ αn
n f =
∂ |α|
∂x α f.
1
1
· ... · x αn
n
• TAYLOR-Formel: Sei D ⊂ R n eine offene Menge und f : D → R eine (r + 1)-mal stetig
diff’bare Funktion. Dann gilt für jeden Vektor h ∈ R n mit x + sh ∈ D, s ∈ [0, 1] die
Taylor-Formel:
f(x + h) = ∑ D α f(x)
· h α + R f
α!
r+1(x, h).
|α|≤r
Das Restglied R f r+1 (x, h) hat in differentieller und integraler Form folgende Darstellung:
R f r+1(x, h) = ∑
1∫
= (r + 1) ·
|α|=r+1
∑
0 |α|=r+1
D α f(x+θh)
α!
· h α =, θ ∈ (0, 1)
D α f(x+t·h)
α!
· (1 − t) r dt.
• Darstellung der ersten Glieder der Taylor-Entwicklung: Sei D ⊂ R n eine offene Menge
und f : D → R eine r + 1-mal stetig diff’bare Funktion. Dann gilt für alle x ∈ D und
f(x + h) = ∑
|α|≤r
∂ α f(x)
h α + ω r (h),
α!
mit Funktionen ω r mit den Eigenschaften ω r (0) = 0 und
lim
h→0,h≠0
ω r (h)
‖h‖ r .
2
Speziel im Fall r = 1 gilt mit dem Gradienten ∇f von f:
f(x + h) = f(x) + ( ∇f(x), h ) 2 + ω 1(h),
und im Fall r = 2 gilt mit der Hesse-Matrix H f von f:
f(x + h) = f(x) + ( ∇f(x), h ) 2 + 1 2(
Hf (x)ḣ, h ) 2 + ω 2(h).
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 59 –