Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

1.3. Normen
alle konvergenten Folgen von Funktionen f n → f gegen stetige Funktionen f ∈ C[a, b] konvergieren.
Man betrachte die Funktionenfolge g n (x) := x n , die bzgl. der L 2 -Norm auf C[0, 1]
gegen die folgende Funktion konvergiert:
{
0 x < 1
g(x) =
1 x = 1 .
Die obige Funktion f ist aber sicher nicht stetig, also g /∈ C[0, 1]. Damit ist die Folge zwar konvergent,
ihr Limes liegt aber nicht im Raum und C[0, 1] ist bzgl. dieser Norm nicht vollständig.
• Beispiele für Normen auf dem K n :
√
n∑
– euklidische Norm: ‖x‖ 2
:= |x i | 2
i=1
– Maximums-Norm: ‖x‖ ∞
:= max
i=1,...,n |x i|
∑
– l 1 -Norm: ‖x‖ 1
:= n |x i | p
i=1
( n
) 1
∑
– l p -Norm: ‖x‖ p
:= |x i | p p
i=1
• wichtige Ungleichungen:
– ∣ ∣ ‖x‖ − ‖y‖
∣ ∣ ≤ ‖x − y‖
– BERNOULLI’sche Ungleichung: Für a ∈ R und a ≥ −1 gilt für beliebiges n ∈ N:
(1 + a) n ≥ 1 + na
– YOUNG’sche Ungleichung: Für p, q ∈ R mit 1 < p, q < ∞ und 1/p + 1/q = 1 gilt:
|xy| ≤ |x|p
p + |y|q
q ,
x, y ∈ K
– HÖLDER’sche Ungleichung: Für das euklidische Skalarprodukt gilt für beliebige p, q ∈
R mit 1 < p, q < ∞ und 1/p + 1/q = 1:
|(x, y) 2 | ≤ ‖x‖ p · ‖y‖ q
,
x, y ∈ K n
Diese Ungleichung gilt auch im Grenzfall p = 1, q = ∞.
– MINKOWSKI’sche Ungleichung: Für beliebiges p ∈ R mit 1 ≤ p < ∞ sowie für p = ∞
gilt:
‖x + y‖ p
≤ ‖x‖ p
+ ‖y‖ p
, x, y ∈ K n
• Abstand/Metrik: Sei X irgend eine Menge. Eine Abbildung d(·, ·) : X × X → R heißt Metrik/Abstand
(auf X), wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
M1 Definitheit: d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y
M2 Symmetrie: d(x, y) = d(y, x)
M3 Dreiecksungleichung: d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 6 –