Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

5.3. TAYLOR-Entwicklungen
• Sei f eine auf einem offenen Intervall (a, b) definierte und (n+1)-mal stetig diff’bare Funktion
und t n (x 0 , ·) ihr n-tes Taylor-Polynom um ein x 0 ∈ (a, b). Dann gibt es zu jedem x ∈ (a, b)
ein ξ zwischen x und x 0 , so dass gilt:
f(x) = t n (x 0 , x) + f(n+1) (ξ)
(n + 1)! (x − x 0) n+1
} {{ }
Restglied
• Glattheit, bzw. C ∞ -Funktionen: Eine Funktion f auf einem Intervall (a, b) heißt glatt oder
C ∞ -Funktion, wenn sie beliebig oft diff’bar ist. Ihre Taylor-Reihe um ein x 0 ∈ (a, b) ist dann
definiert durch:
∞∑ f (k) (x 0 )
t ∞ (x 0 , x) :=
(x − x 0 ) k .
k!
k=0
• (Reell) analytische Funktionen: Konvergiert die Taylor-Reihe einer C ∞ -Funktion f für alle
x ∈ (a, b) und gilt dort auch f(x) = t ∞ (x 0 , x), so heißt f reell analytisch.
• TAYLOR-Entwicklung: Sei f auf einem Intervall (a, b) eine C ∞ -Funktion mit (gleichgradig)
gleichmäßig beschränkten Ableitungen:
∣ f (n) (x) ∣ ≤ M ≤ ∞, n ∈ N
sup
x∈(a,b)
Dann ist f auf (a, b) analytisch, d.h.: Für alle x, x 0 ∈ (a, b) konvergiert die Taylor-Reihe von f
und es gilt:
∞∑ f (k) (x 0 )
f(x) = t ∞ (x 0 , x) =
(x − x 0 ) k .
k!
k=0
Eine C ∞ -Funktion muß nicht analytisch sein. Ein Gegenbeispiel ist die auf R definierte Funktion
{
exp(−x −2 ), x ≠ 0
f(x) =
0, x = 0
Diese Funktion ist wegen lim exp(−x −2 ) = 0 in x 0 = 0 und damit auf ganz R stetig. Alle
x→0
Ableitung f (n) (x) existieren und lassen sich in x 0 = 0 durch f(0) := 0 stetig fortsetzen. Damit
ist f ∈ C ∞ . Die Taylorreihe von f ist in x 0 = 0 die Nullfunktion und konvergiert dort also auch
gegen f. Allerdings stellt die Taylorreihe f in R\ {0} nirgends dar. Damit ist sie nicht analytisch.
• Restgliedarstellung: Das Restglied R n+1 (x 0 , x) bei der Taylor-Entwicklung ist in der Differentialbzw.
Integraldarstellung:
• Beispiele:
R n+1 (x 0 , x) = f(n+1) (ξ)
(n + 1)! (x − x 0) n+1 = 1 ∫ x
(x − t) n f (n+1) (t)dt
n! x 0
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 30 –