Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

9.2. Vektor- und Matrixwertige Funktionen
2. Auf M ist f eine Kontraktion mit Lipschitzkonstante q ∈ (0, 1).
Dann besitzt f in M genau einen Fixpunkt x ∗ und für jeden STartpunkt x (0) ∈ M konvergiert
die Folge der durch
x (k) = f(x (k−1) ), k ∈ N
definierten Iteration x (k) ∈ M gegen diesen Fixpunkt x ∗ ∈ M mit der Fehlerabschätzung:
∥ x (k) − x ∗∥ ∥ ≤
q k
1 − q · ∥∥ x (1) − x (0)∥ ∥ .
Man interessiert sich für Lösungen von Gleichungssystemen der folgenden Form:
f 1 (x 1 , ..., x n ) = b 1
f 2 (x 1 , ..., x n ) = b 2
. .
f n (x 1 , ..., x n ) = b n .
Dies lässt sich natürlich mit f : D ⊂ K n → K n und x, b ∈ K n auch schreiben als:
f(x) = b.
Im Allgemeinen lässt sich ein solches Gleichungssystem nicht mehr in expliziter Form x =
f −1 (b) lösen. Man kann dann aber versuchen eine Folge von Punkten x (n) zu konstruieren,
die gegen die Lösung x ∗ konvergiert. Man macht dazu den folgenden Ansatz (mit geeignetem
σ ∈ K\{0}):
x (k+1) = g(x (k) ) := x (k) − σ · (f(x (k) ) − b ) .
Ist x (k) eine ideale Lösung, gilt also f(x (k) ) = b, so folgt daraus: x (k+1) = x (k) . Anschaulich
korrigiert also obige Abbildung den aktuellen Wert für die Lösung mit einem Maß für die
Abweichung, die der Wert vom Idealwert hat. σ sorgt dafür, dass es sich bei g(x (k) ) wirklich
um eine Kontraktion handelt. Angewendet auf lineare Gleichungssysteme Ax = b, A ∈
K n×n , x, b ∈ K n ergibt sich (siehe auch folgendes Lemma):
x (k+1) := x (k) − σ · (A
x (k) ˙ − b )
Das folgende Lemma gibt einen Wert für σ: σ := 1
‖A‖ ∞
.
• Korollar/Anwendung zum Fixpunktsatz: RICHARDSON-Iteration:
Seien A ∈ K n×n hermitesch und positiv definit und b ∈ K n gegeben. Dann konvergiert die
Fixpunktiteration
x (k) = x (k−1) − 1 · (Ax (k−1) − b ) , k ∈ N
‖A‖ ∞
für jeden Startwert x (0) gegen die Lösung des Gleichungssystems
Ax = b.
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 52 –