Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

1.4. Matritzen und Matrixnormen
Für allgemeine Matrizen B ∈ K n×n gilt:
{√ }
‖B‖ 2
= max |λ|, λ Eigenwert von t AA
Zur Motivation der Spektralnorm: Sei w ≠ 0 eine normierter Eigenvektor zum Eigenwert λ der
Matrix A ∈ K n×n , also:
‖w‖ = 1 und A · w = λw.
Damit erhält man folgende Abschätzung:
|λ| = |λ| · ‖w‖ = ‖A · w‖ ≤ ‖A‖ · ‖w‖ = ‖A‖ .
Das bedeutet, dass alle Eigenwerte auf einer Kreisscheibe um den Nullpunkt in C liegen. Der
Radius ist gerade ‖A‖. Damit erhält man:
max |λ| ≤ ‖A‖ ∞ .
λ ist EW
• spezielle Matritzen aus K n×n :
1. HERMITE’sche Matritzen: Eine Matrix A ∈ K n×n heißt hermite’sch, wenn gilt:
A = t A.
– Für hermite’sche Matritzen hat die Spektralnorm die spezielle Gestalt:
‖A‖ 2
= max {|λ|, λ Eigenwert von A}
– Alle Eigenwerte einer hermite’schen Matrix sind reell.
– Zu jeder hermite’schen Matrix A ∈ K n×n gibt es eine Orthonormalbasis von K n , die
aus Eigenvektoren von A besteht. Außerdem gibt es eine unitäre Matrix S ∈ K n×n
mit der gilt (λ 1 , ..., λ n ∈ R Eigenwerte von A):
⎛
S −1 AS = t SAS =
⎜
⎝
⎞
λ 1 0
. ..
⎟
⎠
0 λ n
2. orthogonale Matritzen: Eine Matrix A ∈ K n×n heißt orthogonal, wenn ihre Spaltenvektoren
ein Orthogonalensystem bilden. Es gilt:
A −1 = t A.
– Für alle Eigenwerte λ i ∈ C gilt: |λ i | = 1.
3. unitäre Matritzen: Eine Matrix Q ∈ K n×n heißt unitär, wenn gilt:
Q −1 = t Q.
– Für alle Eigenwerte λ i ∈ C gilt: |λ i | = 1.
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 8 –