Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

KAPITEL 4
Funktionen
4.1 Grundlegende Eigenschaften
• Periodizität: Eine Funktion f : R → K heißt periodisch mit Periode L, wenn gilt:
f(x + n · L) = f(x), ∀x ∈ R, n ∈ Z.
• Gerade/Ungerade Funktionen: Eine Funktion heißt gerade, wenn f(−x) = f(x). Sie heißt
ungerade, wenn f(−x) = −f(x).
• Monotonie: Eine reelle Funktion f : I → R heißt monoton steigend bzw. monoton fallend,
wenn für Punkte x 1 , x 2 ∈ I gilt:
x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) bzw. x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1 ) ≥ f(x 2 ).
• Satz über monotone Funktionen und ihre Umkehrfunktionen: Für eine strikt monoton steigende
(fallende) Funktion f : I → R existiert auf dem Bild B = {y ∈ R |y = f(x), x ∈ I} die
Umkehrfunktion f −1 : B → I und ist ebenfalls strikt monoton steigend (fallend).
• Limes einer Funktion: Eine Funktion f : D → K hat einen (regulären) Limes a ∈ K in einem
Punkt x 0 ∈ D, wenn für alle Folgen (x n ) n∈N mit x n ∈ D ∀n ∈ N, gilt:
x n → x 0 (n → ∞) ⇒ f(x n ) → a (n → ∞)
• Supremum und Infimum einer Funktion: Für eien Funktion f : D → R sind Supremum und
Infimum definiert als kleinste obere, bzw. größte untere Grenze ihrer Bildmenge:
sup f(x) := min { β ∈ R ∣ }
f(x) ≤ β ∀x ∈ D
x∈D
inf x∈D := max{ α ∈ R ∣ }
f(x) ≥ α ∀x ∈ D
Auf einem beschränkten D garantiert die Trennungseigenschaft von R die Existenz von sup
bzw. inf.
Existieren Punkte x max , x min ∈ D mit:
sup f(x)
x∈D
= f(x max ) =: max x∈D
inf x∈D = f(x min) =: min x∈D
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 22 –