Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

1.6. Eigenschaften von Teilmengen des K und des K n
• ɛ-Umgebungen/Kugelumgebung eines Punktes: Eine Epsilonumgebung U ɛ (x 0 ) für ein x 0 ∈
D ⊂ K n mit dem Radius ɛ > 0 ist definiert, als die offene Kreisscheibe:
U ɛ (x 0 ) = K ɛ (x 0 ) := { x ∈ D ∣ ∣ ‖x − x0 ‖ < ɛ }
• ɛ-Umgebung einer Menge: Als offene ɛ-Umgebung einer Menge M ⊂ R n bezeichnet man
die Menge:
U ɛ (M) := { x ∈ R n∣ ∣ dist(x, M) < ɛ
}
.
• Sätz zu Umgebungen: Es gilt:
1. Jede Obermenge einer Umgebung von a ∈ K n ist eine Umgebung von a.
2. Der Durchschnitt zweier Umgebungen von a ∈ K n ist ebenfalls eine Umgeung von a.
3. HAUSDORFF’sche Trennungseigenschaft: Zu je zwei verschiedenen Punkten a, b ∈ K n
existieren disjunkte Umgebungen.
• beschränkte Mengen:
Eine Menge M ⊂ K heißt beschränkt, wenn es eine Zahl R > 0 gibt, sodass |z| ≤ R für fast
alle z ∈ M.
Eine Menge M ⊂ K n heißt beschränkt, wenn es eine Kugelumgebung K r (0) des Nullpunktes
gibt, die alle Elemente der Menge enthält.
• offene Mengen:
Eine Menge heißt offen, wenn es zu jedem a ∈ O eine Kugelumgebung K ɛ (a) gibt, die in O
enthalten ist.
Dies bedeutet, dass es keine sog. Randpunkte gibt, deren Kugelumgebungen zum Teil in O und
zum Teil imKomplement von O liegen.
Lemma: Der Durchschnitt endlich vieler und die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen
ist offen.
• abgeschlossene Mengen:
Eine Menge M ⊂ K n heißt abgeschlossen, wenn sie die Granzwerte aller konvergenten Folgen
(a n ) n∈N mit a n ∈ M enthält. Auch die leere Menge ∅ heißt abgeschlossen.
Eine weitere Definition ist: Eine Menge A ⊂ K n heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement
A c := K n \A offen ist.
Beispiele: Die folgenden Mengen sind abgeschlossen:
1. die berandete Kreisscheibe mit dem Radius r um a: K r (a) := { z ∈ C n∣ ∣‖z − a‖ ≤ r }
2. Das CANTOR’sche Diskontinuum ist abgeschlossen, und sogar kompakt.
3. Gegenbeispiel: Q ist nicht abgeschlossen, da z.B. die Folge a n = ( 1 + 1 n) 2
∈ Q gegen
die Eueler’sche Zahl e konvergiert und e /∈ Q. Damit gibt es Folgen in Q deren Grenzwert
nicht in Q liegt.
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 10 –