Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

2.2. Beschränkung und Häufungspunkte
• Es gilt: Folge konvergiert auf K ⇔ Folge ist Cauchy-Folge.
• Der Limes einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt.
• Werden bei einer konvergenten Folge nur endlich viele Glieder geändert, so bleibt sie konvergent.
• Jede konvergente Folge ist notwendigerweise beschränkt.
• Gilt für eine Folge a n ≥ 0 für fast alle n ∈ N, so folgt lim a n ≥ 0 (Für > gilt dies nicht
unbedingt!).
• Für zwei konvergierende Folgen mit lim a n = a und lim b n = b existieren auch folgende
n→∞ n→∞
Grenzwerte:
lim (a n + b n ) = a + b
n→∞
lim (a n · b n ) = a · b
n→∞
a n
lim = a
n→∞ b n b
Für den letzten Grenzwert ist noch b n ≠ 0 für fast alle b n und b ≠ 0 notwendig.
• Für konvergente Folgen (a n ) n∈N auf K mit lim
n→∞ a n = a gilt:
lim |a n| = |a|
n→∞
lim Re a n = Re a
n→∞
lim Im a n = Im a
n→∞
• Beispiel:Konvergenz einiger Folgen:
1
= 0 n
lim
n→∞
lim
n→∞
lim
n→∞ qn = 0 0 ≤ q < 1 lim
n√ n = 1
lim
n→∞
n→∞
lim
n→∞
2.2 Beschränkung und Häufungspunkte
n
= 0
2 n
• beschränkte Folgen:
Eine Folge (a n ) n∈N (oder Teilmenge) heißt beschränkt, falls:
∀n ∈ N∃K ∈ R + : |a n | < K
Entsprechend definiert man Beschränktheit nach oben bzw. unten:
a n ≤ K bzw. a n ≥ K ∀n ∈ N
n√ c = lim
n→∞ c1/n = 1
n√
n! = ∞
• Eine beschränkte Folge (a n ) n∈N in R besitzt eine obere, sowie eine untere Grenze:
sup a n := min {K ∈ R |a n ≤ K ∀n ∈ N}
n∈N
sup a n := max {K ∈ R |a n ≥ K ∀n ∈ N}
n∈N
Mit diesen gilt dann: sup a n ≤ a n ≤ sup a n .
n∈N
n∈N
• Häufungspunkte (HP):
Ein a heißt Häufungspunkt einer Folge (a n ) n∈N , falls es in jeder ɛ-Umgebung U ɛ (a) unendlich
viele Folgenelemente a n gibt
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 15 –