Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

KAPITEL 7
FOURIER-Analysis
7.1 Der Funktionenraum R[a, b]
• Stückweise Stetigkeit: Eine Funktion f : [a, b] → K heißt stückweise stetig, wenn sie in
[a, b] bis auf endlich viele Ausnahmestellen stetig und beschränkt ist und wenn in jeder dieser
Unstetigkeitsstellen ξ ∈ [a, b] die links- und rechtsseitigen Grenzwerte f(ξ ± ) := lim f(ξ ± h)
k↓0
existieren. In den Ausnahmestellen ξ ∈ (a, b) sei gesetzt:
f(ξ) := f(ξ −) + f(ξ + )
.
2
Die obige Setzung hat keinen Einfluss auf den Wert des Riemann-Integrals. Anschaulich wird
in ξ die Funktion auf den Mittelwert zwischen den zwei Grenzwerten gesetzt.
• Der Vektorraum R[a, b]: Die Menge der in obigem Sinne auf [a, b] stückweise stetigen
(Riemann-integrierbaren) Funktionen bilden offenbar einen Vektorraum, der mit R[a, b] bezeichnet
wird.
Auf diesem Vektorraum definiert die Sesquilinearform (komplexe Konjugation: a + ib = a −
ib):
(f, g) :=
∫ b
a
f(x)g(x)dx
das sog. L 2 -Skalarprodukt mit folgenden Eigenschaften:
1. Linearitätseigenschaften:
(αf 1 + βf 2 , g) = α(f 1 , g) + β(f 2 , g) (f, αg 1 + βg 2 ) = α(f, g 1 ) + β(f, g 2 )
2. Symmetrieeigenschaften: (f, g) = (g, f)
3. Semidefinitheit: (f, f) ≥ 0
4. Es gilt die SCHARZ’sche Ungleichung:
∣ (f, g)
∣ ∣
2
≤ (f, f) · (g, g).
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 43 –