Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

6.1. Das RIEMANN-Integral
Beispiel I:
π/2
∫
−π/2
∫ π/2
dx √
1−x 2
−π/2
löst man mit x := ϕ(y) = sin(y) und damit dx = cos(y)dy auf, zu:
∫
dx 1 ∫
√ = 1
1
√ cos(y)dy = cos y
1 − x
2
−1 1 − sin(y)
2
−1 cos y dy = 2
Beispiel II: Andersherum sucht man z.B. die Lösung für
∫
(sin(x)) 3·cos(x)·dx. Hier definiert
man ϕ(x) = sin(x). Damit ergibt sich dϕ(x)
dx
= cos(x) ⇒ dϕ(x) = cos(x)dx. Mit diesen
Vorgaben sieht man:
∫
π/4
6.1.6 Kurvenlängen
0
(sin(x)) 3 · cos(x) · dx =
} {{ } } {{ }
=ϕ(x) =dϕ(x)
ϕ(π/4)= 1 √
∫ 2 2
ϕ(0)=0
π/4
0
ϕ(x) 3 · dϕ(x) =
[ 1
4 ϕ4 ] 1
2
√
2
0
= 1 16
• Parametrisierte Kurven: Es seien ϕ, ψ zwei stetige Funktionen eines Parameters t ∈ [a, b].
Sind die Punkte der Ebene (ϕ(t), ψ(t)) , t ∈ [a, b] alle verschieden, so nennt man die Punktemenge
Γ := {(ϕ(t), ψ(t)) |t ∈ [a, b]}
ein ebenes Kurvenstück mit Parameterdarstellung {ϕ, φ}.
• Polygonzugverfahren: Zur Längenberechnung wird ein Kurvenzug durch gerade Linien zwischen
je zwei Stützstellen P k = (ϕ(t k ), ψ(t k )) und P k+1 = (ϕ(t k+1 ), ψ(t k+1 )) gezogen. Die
Länge eines Teilstückes ist über den euklidischen Abstand definiert. Damit ergibt sich die Länge
eines Polygonzuges |p Z (Γ)| zu einer gegebenen Zerlegung Z = {t 0 , ..., t n } zu:
|p Z (Γ)| :=
n∑
k=1
√
(ϕ(t k ) − ϕ(t k−1 )) 2 + (ψ(t k ) − ψ(t k−1 )) 2
• Rektifizierbarkeit und Länge einer Kurve Haben die Längen aller Polygonzüge p Z (Γ) zu
einem Kurvenstück Γ eine (endliche) obere Grenze, so heißt Γ rektifizierbar mit der Länge:
|Γ| :=
∑ |p Z (Γ)|
Z∈Z(a,b)
• Kurvenlänge: Ist die Parameterdarstellung des Kurvenstückes Γ stetig diff’bar, so ist es rektifizierbar
und seine Länge ist gegeben durch:
|Γ| =
∫ b
a
√
ϕ′ (t) 2 + ψ ′ (t) 2 dt
Die obige Formel folgt aus der bereits angegebenen Summendarstellung unter Erweiterung mit
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