Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

8.2. Lineare Abbildungen auf dem K n
1. Jede Cauchy-Folge in K n konvergiert, d.h.: Der euklidische Raum K n ist vollständig und
somit ein Banach-Raum.
2. Jede beschränkte Folge in K n besitzt eine konvergente Teilfolge (hat also mindestens
einen Häufungspunkt.
Analoge Aussagen gelten auch für Teilmengen des K n . So hat etwa jede beschränkte Teilmenge
des K n einen Häufungspunkt. Diese zwei Aussagen gelten nur für endliche Vektorräume; für
unendliche VRs (z.B. C[a, b], R[a, b]) sind sie im allgemeinen falsch.
√
• Produkträume: Auf dem Produktraum V = K n ×K n definiert man mit ‖{x, y}‖ := ‖x‖ 2 + ‖y‖ 2
eine natürliche Norm. Dieser Raum kann mit dem K 2n identifiziert werden. Diese Konstruktion
lässt sich auf (endlich dimensionale) Produkträume erweitern.
8.2 Lineare Abbildungen auf dem K n
• Reguläre Matrizen: Für Matrize A ∈ K n×n sind folgende Aussagen äquivalent:
1. A ist regulär.
2. Ax = b ist für jedes b ∈ K n eindeutig lösbar.
3. Ax = 0 ist nur durch x = 0 lösbar.
4. Rang(A) = n.
5. det(A) ≠ 0.
6. Alle Eigenwerte von A sind ungleich Null.
• Gleiche Matrizen: Zwei Matrizen A, A ′ ∈ K n×n sind gleich, wenn Ax = A ′ x, ∀x ∈ K n .
• Ähnliche Matrizen: Zwei Matrizen A, A ′
Matrix T ∈ K n×n gilt: A ′ = T −1 AT
∈ K n×n sind ähnlich, wenn mit einer regulären
Ähnliche Matrizen sind also solche, die bezüglich zweier unterschiedlicher Basen die selbe
lineare Abbildung darstellen. Ihre Eigenwerte sind gleich.
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 49 –