Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

2.3. Monotonie
• Für Folgen (a n ) n∈N mit HP a gilt:
– Zu jedem Häufungspunkt a gibt es eine konvergente Teilfolge (a nk ) mit lim
k→∞ a n k
= a.
– Ein HP a ändert sich nicht, wenn man endlich viele Elemente a n ändert.
– Eine konvergente Folge mit Limes b hat genau einen HP, der mit b identisch ist.
• Satz von Bolzano Weierstraß:
1. Jede beschränkte Folge oder unendliche Teilmenge in K besitzt einen HP.
2. Jede beschränkte Folge oder unendliche Teilmenge in R besitzt einen größten und einen
kleinsten HP, die mit lim sup a n , bzw. lim inf a n bezeichnet werden.
n→∞
n→∞
• Def: abgeschlossen und kompakt
– Eine Menge M ⊂ K heißt abgeschlossen, falls alle ihre Häufungspunkte ebenfalls in M
liegen.
– Eine abgeschlossene Teilmenge M ⊂ K heißt kompakt wenn jede (unendliche) Folge in
ihr einen HP hat.
Damit besagt der Satz von Bolzano-Weierstraß, dass in K jede beschränkte, abgeschlossene
Teilmenge kompakt ist
• Jede beschränkte Folge (a n ) n∈N über K, die nicht konvergiert besitzt mindestens zwei Häufungspunkte.
Nicht-beschränkte Folgen können auch eine divergente Teilfolge besitzen.
2.3 Monotonie
• Definition der Monotonie:
Eine Folge (a n ) n∈N heißt monoton steigen (fallend), falls gilt:
a n+1 ≥ a n bzw. a n+1 ≤ a n (n ∈ N)
• Jede beschränkte, monoton steigende oder fallende Folge in R besitzt einen Grenzwert.
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 16 –