Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

5.5. Differentiation und Grenzprozesse
NEWTON-Verfahren: Die zweimal stetig diff’bare Funktion f : I = [a, b] → R habe eine Nullstelle
x ∗ ∈ (a, b) und es sei:
Sei ρ > 0 so gewählt, dass:
m := min
a≤x≤b |f′ (x)| > 0,
M := max
a≤x≤b |f′′ (x)| .
q := M 2m · ρ < 1 und K ρ(x ∗ ) ⊂ [a, b].
Dann sind für jeden Startpunkt x 0 ∈ K ρ (x ∗ ) die Newton-Iterationen x n+1 = x n + f(xn)
f ′ (x n)
konvergieren gegen die Nullstelle x ∗ . Dabei gelten sie apriori-Abschätzung:
definiert und
|x n − x ∗ | ≤ 2m M q(2n) , n ∈ N
und die a posteriori-Abschätzung:
|x n − x ∗ | ≤ 1 m |f(x n)| , n ∈ N.
Bemerkungen: Das Problem ist, eine Umgebung der Nullstelle zu finden, innerhalb derer das Verfahren
konvergiert. Ist eine solche Umgebung einmal gefunden, konvergiert das Newton-Verfahren
aufgrund der ersten Fehlerabschätzung quadratisch gegen die Nullstelle.
5.5 Differentiation und Grenzprozesse
• Regeln von L’HOSPITAL: Es seien f, g zwei auf dem (beschränkten) Intervall I = (a, b)
diff’bare Funktionen. Es gelte dort g ′ (x) ≠ 0 und es existiere der Limes
Dann gelten folgende Regeln:
f ′ (x)
lim
x↓a g ′ (x) =: c ∈ R
1. Im Fall lim
x↓a
f(x) = lim
x↓a
g(x) = 0 ist g(x) ≠ 0 in I und es gilt:
f(x)
lim
x↓a g(x) = c = lim f ′ (x)
x↓a g ′ (x)
2. Im Fall lim
x↓a
f(x) = lim
x↓a
g(x) = ±∞ ist g(x) ≠ 0 für a < x ≤ b und es gilt:
f(x)
lim
x↓a g(x) = c = lim f ′ (x)
x↓a g ′ (x)
Analoge Aussagen gelten für x ↑ b und x → ±∞.
Auch für bestimmte Produktausdrücke, der Art:
lim f(x) = 0, lim
x→a
kann mit den L’Hospital’schen Regeln und der Setzung
eine Lösung finden.
g(x) = ∞ ⇒ lim f(x) · g(x)
x→a x→a
f(x)
lim f(x) · g(x) = lim ( )
x→a x→a −1
g(x)
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 32 –