Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

1.2. Äquivalenzrelationen und -klassen
• charakteristische Funktion: Sei D irgendeine Menge. Zu jeder Menge kann man eine charakteristische
Funktion χ D definieren:
{
1, x ∈ D
χ D :=
0, x /∈ D .
Die partielle charakteristische Funktion ist 1 für alle x ∈ D und undefiniert sonst.
1.2 Äquivalenzrelationen und -klassen
• Definition: Äquivalenzrelationen und -klassen:
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A ist eine Beziehung zwischen zwei Elementen
a, b ∈ A mit den Eigenschaften:
1. a ∼ a (Reflexivität)
2. a ∼ b ⇒ b ∼ a (Symmetrie)
3. a ∼ b, b ∼ c ⇒ a ∼ c (Transitivität)
Eine Äquivalenzklasse [a] ist definiert als die Menge:
[a] := {x ∈ A |x ∼ a}
• Satz: Jede Menge zerfällt vollständig in disjunkte Äquivalenzklassen.
1.3 Normen
• Definition:
Sei V ein Vektorraum. Eine Norm ‖·‖ : V → R ist eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften
(x, y ∈ V; α ∈ R):
1. ‖x‖ ≥ 0 und ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0 (Definitheit)
2. ‖αx‖ = |α| · ‖x‖ (Homogenität)
3. ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (Dreiecksungleichung)
Ein Paar (V, ‖ · ‖) wird normierter Raum genannt
• Normäquivalenz: Auf einem endlich dimensionalen Vektorraum K n sind alle Normen äquivalent
zur euklidischen Norm, d.h.:
Zu jeder Norm ‖ · ‖ gibt es positive Konstanten m, M > 0, mit denen gilt:
m ‖x‖ 2
≤ ‖x‖ ≤ M ‖x‖ 2
Als Beispiel dafür, dass die Normäquivalenz auf unendlich dimensionalen Vektorräumen nicht
mehr gilt kann dienen: Wären alle Normen auf C[a, b] äquivalent, so müsste dieser Raum sowohl
bzgl. der Maximumsnorm, als auch bzgl. der L 2 -Norm vollständig sein. Somit würden
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 5 –