Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

10.4. Reguläre/umkehrbare Funktionen
10.4 Reguläre/umkehrbare Funktionen
• Reguläre Abbildungen: Sei D ⊂ R n offen. Eine Abbildung f : D → R n heißt regulär in
^x ∈ D, wenn sie in einer Umgebung K ɛ (^x) ⊂ D stetig diff’bar und die Funktionalmatrix J f (^x)
regulär ist (den vollen Rang hat). Sie heißt regulär auf D, wenn sie in jedem Punkt ^x ∈ D
regulär ist.
• Umkehrabbildung: Sei D ⊂ R n offen und f : D → R n regulär in ^x ∈ D Dann gibt es eine
offene Umgebung U(^x) ⊂ D von ^x, die von f bijektiv auf eine offene Umgebung U(^y) ⊂ R n
von ^y := f(^x) abgebildet wird. Die Umkehrabbildung f −1 : U(^y) → U(^x) ist ebenfalls regulär
in ^y und für ihre Funktionalmatrix und Funktionaldeterminante gilt:
J f −1(^y) = J f (^x) −1 ,
|J f −1(^y)| = |J f (^x)| −1
Dieser Satz garantiert die lokale Umkehrbarkeit von Funktionen. Für die globale Umkehrbarkeit
würde man benötigen, dass die implizite Funktion g −1 überall eindeutig definiert ist, was
nur unter sehr eingeschränkten Bedingungen möglich ist.
Eine eineindeutige Abbildung f : D ⊂ R n → R n mit stetiger Umkehrabbildung heißt Homöomorphismus.
Sind f und f −1 stetig diff’bar, so spricht man von einem Diffeomorphismus.
Der Satz folgt aus dem Satz über implizite Funktionen, wenn man dort die folgenden Setzungen
macht:
F(x, y) = x − f(y) ⇒ y = f −1 (x)
Dann gilt für dei Jacobi-Matrix D y F(x, y), die ja regulär sein muss:
D y F(x, y) = −D y f(y)
Dieses entspricht aber schon der Voraussetzung des Satzes über Umkehrabbildungen. Weiter
erhält man D x F(x, y) = E n und daraus:
J f −1(x) = − ( D y F(x, y) ) −1
· Dx F(x, y) = ( J f (x) ) −1
• offene Abbildungen: Ist die Abbildung f : D ⊂ R n → R n regulär, so ist für jede offene Menge
O ⊂ D auch die Bildmenge f(O) offen. Solche Abbildungen werden auch als offen bezeichnet.
10.5 Extremwertaufgaben
10.5.1 Lokale Extrema
In diesem Abschnitt sucht man Bedingungen und Charakterisierungen für lokale Extrema von Funktionn
f : D ⊂ R n → R.
• Loales Extremum: Eine Funktion f : D ⊂ R n → R hat in einem Punkt x ∈ D ein lokales
Extremum, wenn auf einer Kugelumgebung K ɛ (x) ⊂ D gilt:
f(x) =
sup f(y) oder f(x) = inf f(y).
y∈K ɛ(x)
y∈K ɛ(x)
Das Extremum ist strikt, wenn ex in K ɛ (x) nur im Punkt x angenommen wird.
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 62 –