Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

KAPITEL 5
Differentiation
5.1 Grundbegriffe
• Differenzierbarkeit: Eine Funktion f : D → R heißt differenzierbar im Punkt x 0 ∈ D mit der
Ableitung f ′ (x 0 ), wenn für jede Nullfolge (h n ) n∈N mit x 0 + h n ∈ D die Folge der zugehörigen
Differenzenquotienten (D hn f(x 0 )) konvergiert:
D h f(x 0 ) := f(x 0 + h) − f(x 0 )
h
Ist eine Funktion f : D → R in einem Punkt x 0 ∈ D differenzierbar, so haben die Folgen von
Differenzenquotienten alle den selben Limes, d.h.:
f ′ (x 0 ) :=
lim
x 0 +h∈D, h→0
f(x 0 + h) − f(x 0 )
.
h
Eine Funktion f : D → R heißt differenzierbar auf D, wenn sie in jedem Punkt x 0
differenzierbar (bzw. im Falle eines Randpunktes einseitig differenzierbar) ist.
Sie heißt stetig differenzierbar, wenn die Ableitung f ′ auf D stetig ist.
∈ D
• Eine Funktion f : D → R ist genau dann in einem Punkt x 0 ∈ D differenzierbar mit Ableitung
f ′ (x 0 ), wenn:
∀ɛ > 0 ∃δ ɛ > 0 : x 0 + h ∈ D, |h| < δ ɛ ⇒
f(x 0 + h) − f(x 0 )
∣
− f ′ (x 0 )
h
∣ < ɛ
• Eine Funktion f : D → R ist genau dann in einem Punkt x 0 ∈ D differenzierbar mit Ableitung
f ′ (x 0 ), wenn:
∃c ∈ R : f(x) = f(x 0 ) + c · (x − x 0 ) + ω(x), x ∈ D,
mit einer Funktion ω : D → R, für die gilt:
lim
x∈D, x→x 0
ω(x)
x − x 0
= 0.
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 27 –