Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

6.4. Integration und Grenzprozesse
6.4 Integration und Grenzprozesse
• Gleichmäßige Konvergenz: Die Folge (f n ) n∈N stetiger Funktionen f n : I → R konvergiere
auf einem Intervall I = [a, b] gleichmäßig gegen eine Funktion f : I → R. Dann ist die
Grenzfunktion ebenfalls stetig und es gilt:
∫ b ∫ b
lim f n (x)dx = lim f n(x)dx.
n→∞
a
a
n→∞
• Integration und unendliche Reihen: Für eine Folge stetiger FUnktionen f k : I → R, k ∈ N
konvergiere die Reihe ∼ ∞ k=1 f k auf einem Intervall I = [a, b] gleichmäßig. Dann stellt die Reihe
eine integrierbare Funktion dar und es gilt:
∫ b
a
∞∑
f k (x)dx =
k=1
∞∑
k=1
∫ b
a
f k (x)dx.
D.h. Man darf in der Reihe gliedweise integrieren.
∑
• Potenzreihe: Eine Potenzreihe ∞ c k (x − x 0 ) k habe den Konvergenzradius ρ > 0; sie stellt
k=0
also auf dem Intervall I = (x 0 − ρ, x 0 + ρ) eine stetige Funktion dar. Deren Stammfunktion
erhält man dann durch gliedweise Integration und diese hat den selben Konvergenzradius:
∫
∑ ∞
c k (x − x 0 ) k dx =
k=0
∞∑
k=0
c k
k + 1 (x − x 0) k+1 + C
• Monotone Konvergenz: Die Folge (f n ) n∈N von auf einem beschränkten Intervall I = [a, b)
(uneigentlich) integrierbaren Funktionen f n : I → R konvergiere punktweise gegen eine Funktion
f : I → R. Ist die Konvergenz f n → f monoton wachsend und ist f ebenfalls (uneigentlich)
integrierbar, so gilt:
∫ b ∫ b
lim f n (x)dx =
n→∞
a
a
lim f n(x)dx
n→∞
• Beschränkte Konvergenz: Die Folge (f n ) n∈N von auf einem Intervall I = [a, b) oder I =
[a, ∞) (uneigentlich) integrierbaren Funktionen f n : I → R konvergiere punktweise gegen
eine Funktion f : I → R. Ist die Grenzfunktion f ebenfallls (uneigentlich) integrierbar und
sind die Funktionen f n gleichmäßig beschränkt durch eine auf I (uneigentlich) integrierbare
Funktion g : I → R, d.h. |f n (x)| ≤ g(x), x ∈ I, so gilt ebenfalls:
∫ b ∫ b
lim f n (x)dx = lim f n(x)dx
n→∞
a
a
n→∞
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 42 –