Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

KAPITEL 10
Differenzierbare Funktionen im K n
10.1 Partielle Ableitung
10.1.1 Begriffsdefinition
• Partielle Ableitung:
1. Sei D ∈ R n eine offene Menge. Eine Funktion f : D → R heißt in einem Punkt x ∈
D partiell differenzierbar bzgl. der i-ten Koordinatenrichtung, falls der folgende Limes
existiert.
f(x + he (i) ) − f(x)
lim
h→0 h
=:
∂f
∂x i
(x) =: ∂ i f(x)
Man nennt dann ∂ i f(x) die partielle Ableitung bzgl x i von f in x.
2. Existieren in allen Punkten x ∈ D alle partiellen Ableitungen so heißt f partiell differenzierbar.
Sind alle partielle Ableitungen stetige Funktionen auf D, so heißt f stetig partiell
differenzierbar.
3. Eine vektorwertige Funktion f = (f 1 , ..., f m ) : D → R m heißt (stetig) partiell differenzierbar,
wenn alle ihre Komponenten f i (stetig) partiell differenzierbar sind.
Beispiele:
1. Abstandsfunktion:
∑
r(x) := ‖x‖ 2
= √ n x 2 k
⇒ ∂ i r(..., x i , ...) = 1 2 · 2x i
2 √ ... + x 2 i + ... = x i
r(x)
k=1
• Mehrfache partielle Differenzierbarkeit: Sind für eine partiell diff’bare Funktion f : D ⊂
R n → R die partiellen Ableitungen ∂ i f : D → R wieder partiell diff’bar, so heißt f zweimal
partiell differenzierbar. Dieser Prozess lässt sich natürlich fortsetzen, solange die entstehenden
Ableitungen partiell diff’bar sind. Man schreibt:
∂ i1 ...∂ ik f(x) =
∂ ∂
... f(x) =
∂x i1 ∂x ik
∂ k f
∂x i1 ...x ik
(x).
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 54 –