Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

11.2. Das RIEMANN-Integral im R n
Speziell gilt für f ≥ 0:
∫
|M(f)| =
D
f(x) dx.
Dies impliziert auch, dass der Graph G(f) einer integrierbaren Funktion f : D → R eine
Jordan-Nullmenge in R n+1 ist.
11.2.4 Vertauschung von Grenzprozessen
• Sei D ⊂ R n quadrierbar und (f k ) k∈N eine Folge von über D integrierbaren Funktionen f k ,
welche gleichmäßig gegen eine Funktion f : D → R konvergiert. Dann ist auch f integrierbar
und es gilt: ∫ ∫
∫
f(x)dx = lim f k(x)dx = lim f k (x)dx.
k→∞ k→∞
D
D
• Sei D ⊂ R n quadrierbar und (f k ) k∈N eine Folge von über D integrierbaren Funktionen f k , für
welche die Reihe
∞∑
f(x) := f k (x)
auf D gleichmäßig konvergiert. Dann ist auch f integrierbar auf D und es gilt:
11.2.5 Satz von FUBINI
∫
D
∫
f(x)dx =
D
k=1
k=1
∞∑
f k (x)dx =
∞∑
∫
k=1
D
D
f k (x)dx
• Satz von FUBINI: Seien I x ⊂ R n und I y ⊂ R m kompakte Intervalle mit dem kartesischen
Produkt I = I x × I y ⊂ R n+m und f eine auf I integrierbare Funktion. Ferner seien für jedes
feste y ∈ I y und x ∈ I x die Funktionen f(·, y) bzw. f(x, ·) integrierbar über I x bzw. I y . Dann
sind auch die Funktionen
∫
∫
F x (y) := f(x, y)dx, F y (x) := f(x, y)dy
I x I y
integrierbar über I y bzw. I x und es gilt:
∫
(∫ )
f(x, y)d(x, y) = f(x, y)dx dy =
I
∫I y I x
∫I x
(∫
)
f(x, y)dy dx.
I y
Die Aussage dieses Satzes gilt natürlich auch für die Zerlegung in mehr als zwei kompakte
Intervalle. Die Integrationsreihenfolge kann dann beliebig vertauscht werden.
Zur Anwendung des Satzes auf allgemeine Definitionsbereiche D auf denen f stetig ist, wird D
in ein Intervall I = I x × I y eingebettet und außerhalb von D durch 0 fortgesetzt:
{
∫
f(x, y), (x, y) ∈ D
^f(x, y) :=
0, (x, y) ∈ I\D
∫D
. ⇒ f(x, y)d(x, y) = ^f(x, y)d(x, y)
I x×I y
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 74 –