Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

10.1. Partielle Ableitung
Dabei ist Dh(x) ∈ R r×n , Df(y) ∈ R m×n , Dg(x) ∈ R r×m und der Punkt ’·’steht für die
entsprechende Matrix-Multiplikation.
Komponentenweise bedeutet obige Formel (y = g(x), i = 1, ..., n, j = 1, ..., r):
∂h j
∂x i
(x 1 , ..., x n ) =
m∑
k=1
∂f j
∂ ( g k (x) )( g 1 (x), ..., g m (x) ) · ∂g k
∂x i
(x 1 , ..., x n ).
Im wesentlichen wird also über alle partiellen Ableitungen einer Komponente von h(x) nach
allen Komponenten von x summiert und jeweils die Kettenregel für partielle ABleitungen angewandt.
• Beziehung zwischen den Differenzierbarkeiten: Es gelten folgende Implikationen. Die Umkehrung
ist im allgemeinen falsch:
stetig partiell diff’bar ⇒ (total) diff’bar ⇒ partiell diff’bar
Beispiel: Es gibt Funktionen, deren partielle Ableitungen existieren, die aber nicht total diff’bar
sind.
{
xy
∀(x, y) ≠ (0, 0)
x
f(x, y) =
2 +y 2
0 (x, y) = (0, 0)
Es gilt:
∂f
∂x = y3 − x 2 y
(x 2 + y 2 ) , fracpdfy = x3 − xy 2
2 (x 2 + y 2 ) 2
Aber die Funktion ist in (0, 0) nicht stetig und also erst recht nicht diff’bar: Dies zeigt man etwa
mit der Folge (a n ) ⊂ R 2 , mit a n = ( 1
, 1 n n)
→ (0, 0) (n → ∞):
( 1
f
n n) , 1 = 1/n2
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
5
10
0.6
0.4
0
0.2
-10
-5
0
5
2/n 2 = 1 2 ≠ 0 (n → ∞). -0.6
10 -10 -5
0
-0.2
-0.4
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 57 –