Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

10.1. Partielle Ableitung
• Sei D ⊂ R n offen. Die Funktion f : D → R habe in einer Kugelumgebung K r (x) ⊂ D eines
Punktes x ∈ D beschränkte partielle Ableitungen (oder f sei überhaupt in K r (x) stetig partiell
diff’bar):
sup
x∈K r(x)
|∂ i f(x)| ≤ M, i = 1, ..., n.
Dann ist f stetig im Punkt x.
• Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge: Sei D ⊂ R n offen. Die Funktion f : D →
R sei in einer Umgebung K r (x) ⊂ D eines Punktes x ∈ D zweimal stetig partiell diff’bar.
Dann gilt:
∂ i ∂ j f(x) = ∂ j ∂ i f(x), i, j = 1, ..., n.
Allgemein ist für eine k-mal stetig diff’bare Funktion die Reihenfolge der partiellen Ableitungen
vertauschbar.
10.1.2 Begriffe der Vektoranalysis
• Gradient (Vektor der ersten partiellen Ableitungen): Sei D ⊂ R n eine offene Menge und
f : D → R eine partiell diff’bare Funktion. Der Vektor der ersten partiellen Ableitungen heißt
Gradient von f im Punkt x ∈ D:
grad f(x) = ∇f(x) := ( ∂ 1 f(x), ..., ∂ n f(x) ) ∈ R n .
Produktregel für den Gradienten: ∇(f · g) = g · (∇f) + f · (∇g)
• JACOBI-Matrix/Funktionalmatrix und Funktionaldeterminante: Sei D ⊂ R n eine offene
Menge und f : D → R m eine partiell diff’bare Vektorfunktion. Die Matrix der ersten partiellen
Ableitungen heißt Funktionalmatrix von f im Punkt x ∈ D:
J f (x) := ( ∂ j f i (x) ) n,m
i,j=1 ∈ Rm×n .
Man schreibt auch J f (x) = ∇f(x). Im Fall m = n wird die Determinante |J f (x)| von J f (x)
Funktional-Determinante genannt.
Matrixschreibweise:
⎛ ⎞ ⎛
⎞
∇f 1 (x) ∂ 1 f 1 (x) · · · ∂ n f 1 (x)
⎜ ⎟ ⎜
⎟
J f (x) := ⎝ . ⎠ = ⎝ .
. ⎠ ∈ R m×n .
∇f m (x) ∂ 1 f m (x) · · · ∂ n f m (x)
• Divergenz: Sei D ⊂ R n eine offene Menge und f : D → R n eine partiell diff’bare Funktion.
Die skalare Funktion
wird Divergenz genannt.
div f(x) = ∇ · f(x) := ∂ 1 f 1 (x) + ... + ∂ n f n (x) ∈ R
Produktregel für die Divergenz: ∇ · (fg) = (∇f) · g + f · (∇ · g)
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 55 –