Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

10.3. Satz über implizite Funktionen
• TAYLOR-Reihe: Für eine beliebig oft partiell diff’bare Funktion f : D ⊂ R n → R und einem
Punkt x ∈ D heißt die Reihe
∞∑
T∞(x f D α f(x)
+ h) =
h α
α!
|α|=0
die Taylor-Reihe von f in x. Die FUnktion f heißt reell analytisch in x, wenn die Taylor-Reihe
von f in einer Umgebung von x konvergiert mit
T f ∞(x) = f(x).
• hinreichende Konvergenzbedingung für TAYLOR-Reihen: Sei D ⊂ R n eine offene Menge
und f : D → R eine beliebig oft diff’bare Funktion. Dann ist f in D reell analytisch, wenn gilt:
R f r+1(x, h) → 0 (r → ∞), x ∈ D.
Eine hinreichende Bedingung dafür ist, dass die partiellen Ableitungen von f gleichmäßig beschränkt
sind:
(
M(f) := sup sup |D α f(x)| ) < ∞.
|α|≥0 x∈D
• Darstellung der TAYLOR-Reihe durch Polynome: Wird eine beliebig oft stetig diff’bare
Funktion f : D ⊂ R n → R in einer Umgebung K r (x) ⊂ D durch eine Reihe homogener
Polynome P α = ∑ x α auf R n mit dem Grad k = |α| dargestellt, so ist dies die Taylor-Reihe
von f in x:
|α|=k
f(x + h) =
∞∑
P α (h),
|α|=0
x + h ∈ K r (x).
1
1
Beispiel: Man betrachte die Funktion f(x 1 , x 2 ) =
1−x 1 −x 2
=
1−(x 1 +x 2
. Hier kann man einen
)
Trick benutzen, indem man in neue Koordinaten z := x 1 + x 2 transformiert. So lässt sich die
Bildung der Taylor-Reihe auf einen eindimensionalen Fall zurückführen:
1
1 − x 1 − x 2 } {{ }
=f(x 1 ,x 2 )
=
1
1 − (x 1 + x 2 ) = 1 =
}
1
{{
− z
}
=f(z)
10.3 Satz über implizite Funktionen
Im folgenden wird untersucht, inwiweit durch eine Gleichung
∞∑
z k =
k=0
∞∑
(x 1 + x 2 ) k
k=0
F(x, y) = 0,
x ∈ D x , y ∈ D y
eine Funktion f(x) : D x → D y definiert wird, so dass gilt:
F ( x, f(x) ) = 0, ∀x ∈ D x .
Es stellt sich die Frage, ob diese implizite Funktion f eindeutig definiert ist. Besonders wichtig ist der
Spezialfall:
F(x) = x − g(y) = 0.
Wird hierdurch eindeutig eine Funktion y = f(x) definiert, so gilt: y = f(x) = g −1 (x), man findet
also die Umkehrfunktion von g.
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 60 –