Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

5.5. Differentiation und Grenzprozesse
• Stabilität der Differenzierbarkeit: Sei (f n ) n∈N eine Folge stetig diff’barer Funktionen auf
einem (beschränkten) Intervall I (offen oder abgeschlossen), welche punktweise gegen eine
Funktion f konvergiert. Ist die Folge der Ableitungen (f ′ n) gleichmäßig konvergent gegen ein
f ∗ , so ist auch f diff’bar und es gilt f ′ = f ∗ , d.h.:
d
( )
lim
dx
f n = lim
n→∞ n→∞ f′ n
• Differentiation unendlicher Summen: Seien f k stetig diff’bare Funktionen auf dem beschränkten
Intervall I (offen oder abgeschlossen) mit Ableitungen f k ′ . Wenn die Partialsummen ∑ n
k=1 f k
punktweise konvergieren und die ∑ n
k=1 f′ k auf I gleichmäßig konvergieren, so darf in den zugehörigen
Reihen gliedweise differenziert werden und es gilt:
d
dx
∞∑
f k =
k=1
∞∑
f k.
′
k=1
∑
• Potenzreihe: Eine Potenzreihe ∞ c k (x − x 0 ) k mit Konvergenzradius ρ > 0 stellt ein in ihrem
k=0
Konvergenzintervall I = (x 0 − ρ, x 0 + ρ) diff’bare Funktion f dar; und zwar ist:
f ′ (x) =
∞∑
kc k (x − x 0 ) k−1 .
k=1
Diese durch gliedweise Differentiation entstandene Potenzreihe hat ebenfalls den Konvergenzradius
ρ.
• Raum C m [a, b]: Der normierte Raum C m [a, b] der auf dem Intervall [a, b] m-mal stetig diff’baren
Funktionen, versehen mit der Norm ‖·‖ m;∞
, ist vollständig.
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 33 –