Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

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Teil II Analysis 2: Analysis des K n c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 47 –
KAPITEL 8 Der n-dimensionale Zahlenraum K n 8.1 Der euklidische Raum K n Viele bereits definierte Begriffe übertragen sich (fast direkt) auf den K n , wenn man statt des Betrages eine auf K n definierte Norm verwendet. Das Standardbeispiel für eine solche Norm ist die euklidische Norm ‖·‖ 2 . • Konvergente Folgen: Eine Folge von Vektoren (x (k) ) k∈N ⊂ K n heißt konvergent gegen ein x ∈ K n , wenn gilt: ∥ ∥x (k) − x ∥ ∥ 2 → 0 (k → ∞) Die geometrische Bedeutung der Konvergenz ist, dass jede ɛ-Umgebung von x fast alle Folgenelemente x (k) enthält. • CAUCHY-Folge: Eine Folge heßt Cauchy-Folge, wenn gilt: ∀ɛ > 0 ∃N ɛ ∈ N : ∀k, l > N ɛ : ∥ x (k) − x (l)∥ ∥ 2 < ɛ • Beschränkte Folgen: Eine Folge heißt beschränkt, wenn alle ihre Elemente in einer Kugelumgebung K R (0) um den Nullpunkt liegen. • Häufungspunkt: Ein Punkt x ∈ K n heißt Häufungspunkt einer Menge M ⊂ K n , wenn jede Umgebung von x mindestens einen Punkt aus M\{x} enthält. Die Menge der Häufungspunkte von M wird mit H(M) bezeichnet. Ein Punkt x ∈ M\H(M) wird isoliert genannt. Ein isolierter Punkt x ist also kein Häufungspunkt einer Folge aus M. Das bedeutet es gibt Umgebungen U ɛ (x), die nicht in M liegen. • Für eine Menge M ⊂ K n gilt: M ∪ H(M) = M. Eine Menge M ⊂ K n ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält. • Satz von BOLZANO-WEIERSTRASS: c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 48 –
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Seite 33 und 34: 5.5. Differentiation und Grenzproze
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Seite 47: 7.2. FOURIER-Entwicklung • Konver
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Seite 65 und 66: 10.5. Extremwertaufgaben Das bedeut
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Seite 75 und 76: 11.2. Das RIEMANN-Integral im R n S
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Seite 79 und 80: INDEX ɛ-Umgebungen einer Menge, 10

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