Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

KAPITEL 3
Reihen
3.1 Definitionen und Konvergenzbegriffe
∑
• Eine Reihe ∞ a k heißt konvergent mit Limes s ∞ , wenn die Folge iherer Partialsummen gegen
k=1
s ∞ konvergiert:
lim
n→∞
n∑
a k = s ∞
∑
• Eine Reihe ∞ ∑
a k heißt absolut konvergent, wenn die Reihe ∞ |a k | konvergiert.
k=1
k=1
• Die Untersuchung von Folgen kann in die Untersuchung von Reihen eingebettet werden, indem
man setzt:
∑n−1
a n = a 1 + (a 2 − a 1 ) + ... + (a n − a n−1 ) = a 1 + (a k+1 − a k )
• Reihenkonvergenz: Eine Reihe ∑ ∞
k=1 a k kann nur dann konvergieren, wenn ihre Partialsummen
beschränkt sind und ihre Glieder a k eine Nullfolge bilden ( lim
k→∞ a k = 0).
• Für zwei konvergente Reihen ∑ ∞
k=1 a k und ∑ ∞
k=1 b k sind auch alle Linearkombinationen
konvergent:
∞∑
∞∑
∞∑
αa k + βb k = α a k + β
k=1
k=1
• Eine absolut konvergente Reihe ist auch konvergent, da
∣ ∞∑ ∣∣∣∣ ∞∑
a k ≤ |a k |
∣
• Beispiele:
k=1
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 17 –
k=1
k=1
k=1
k=1
b k