Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

4.2. Stetigkeit
• Satz über die Umkehrfunktion stetiger Funktionen: Sei D ⊂ K beschränkt und abgeschlossen,
also kompakt. Weiter sei eine Funktion f : D → B ⊂ K injektiv und stetig. Dann ist auch
ihre Umkehrfunktion f −1 : B → D stetig.
• Zwischenwertsatz: Sei f : [a, b] → R eine reelle stetige Funktion. Dann gibt es zu jeder
reellen Zahl f(a) ≤ y ≤ f(b) ein c ∈ [a, b] mit f(c) = y.
• Satz von der Beschränktheit: Eine auf einer beschränkten, abgeschlossenen (also kopakten)
Teilmenge D ⊂ K stetige Funktion f : D → K ist dort beschränkt, d.h.:
∣
∃K > 0 : ∣ f(x) ≤ K
sup
x∈D
• Satz vom Exremum: EIne auf einer kompakten Teilmenge D ⊂ K stetige reell-wertige Funktion
f : D → R besitzt dort ein Maximum und ein Minimum, d.h.:
∃x min , x max ∈ D :
sup f(x) = max f(x) = f(x max),
x∈D
x∈D
inf f(x) = min f(x) = f(x min)
x∈D x∈D
• gleichmäßige Stetigkeit: Eine auf einer kompakten Teilmenge D ⊂ K stetige Funktion ist dort
gleichmäßig stetig, d.h.:
∀ɛ > 0 ∃δ ɛ > 0 : ∀x, x ′ ∈ D : |x − x ′ | < δ ɛ ⇒ ∣ ∣ f(x) − f(x ′ ) ∣ ∣ < ɛ.
• LIPSCHITZ-Stetigkeit: Eine Funktion f : D → C heißt Lipschitz-stetig auf D mit Lipschitz-
Konstante L, wenn:
∃L > 0 : ∀x, y ∈ D : |f(x) − f(y)| ≤ L · |x − y|.
Gilt weiter L < 1, so nennt man f ein Kontraktion.
Geometrisch bedeutet Lipschitz-stetig, dass die Abstandsverzerrung durch die Abbildung f, die
charakterisiert wird, durch ein festes K auf ganz D beschränkt ist.
durch |f(x)−f(y)|
|x−y|
Lemma: Lipschitz-stetige Funktionen auf D sind auch stetig auf D.
• Beispiel: eine gleichmäßig stetige Funktion, die nicht Lipschitz-stetig ist:
Man betrachte die Funktion:
f(x) := √ x, mit: x ∈ [0, 1].
Diese Funktion ist auf (0, 1] stetig und damit auch auf [0, 1] mit der Fortsetzung f(0) = 0
gleichmäßig stetig. Aber sie ist nicht Lipschitz-stetig, mit folgenden Argumenten:
∣ √ 0 − √ x∣
∣ √ x ∣ ∣
⇒ L
!
≤ L · |0 − x|
!
≤
≥
L · |x|
√ ∣ ∣ x
∣∣∣ ∣ x ∣ = 1 ∣∣∣
√x → ∞ (x → 0)
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 24 –