Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

KAPITEL 6
Integration im R
6.1 Das RIEMANN-Integral
6.1.1 Herleitung und Definition
• Zerlegung, Feinheit und Verfeinerung: Eine Unterteilung oder Zerlegung Z = {x 0 , ..., x n }
eines (beschränkten Intervalles I = [a, b] zerlegt dieses in Teilintervalle I k := [x k−1 , x k ]. Es
gilt:
a =: x 0 < x 1 < ... < x n := b
Eine solche Zerlegung I hat die Feinheit:
h :=
max |x k − x k−1 | .
k=1,...,n
Die Menge aller Zerlegungen eines Intervalles [a, b] wird mit Z(a, b) bezeichnet.
Eine Verfeinerung Z ′ = {x 0 ′ , ..., x′ n} einer Zerlegung Z ∈ Z(a, b) enthält alle Zerlegungspunkte
von Z und möglicherweise noch weitere. Für die Feinheit gilt mit der Feinheit h von Z: h ′ :=
max ∣ x
′
k − x k−1
′ ∣ ≤ h
k=1,...,n
• Ober- und Untersumme: Für eine beschränkte Funktion f : I = [a, b] → R und eine Zerlegung
Z ∈ Z(a, b) ist die Obersumme S Z (f) und Untersumme S Z (f) von f definiert als:
S Z (f) :=
n∑
sup f(x) · (x k − x k−1 ) , S Z (f) :=
x∈I k
k=1
n∑
inf f(x) · (x k − x k−1 )
x∈I k
k=1
Daraus ergibt sich die Definition von Ober- und Unterintegral:
∫ b
a
f(x)dx :=
inf S Z (f), := sup S Z (f)
Z∈Z(a,b)
Z∈Z(a,b)
Diese Definition entspricht der Integration über eine Treppenfunktion zur Zerlegung Z, die f
aproximiert. Die Definition von Ober- und Unterintegral macht Sinn, da der Wert der Obersumme
mit steigender Feinheit abnimmt und der Wert der Untersumme entsprechend zunimmt, da
die Funktion f immer besser aproximiert wird.
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 34 –