Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

6.1. Das RIEMANN-Integral
• Satz von LEBESGUE: Die Funktion f : [a, b] → R ist genau dann Riemann-Integrierbar, wenn
sie auf [a, b] beschränkt und fast überall stetig ist.
• Integration komplexer Funktionen: Auch Funktionen f : [a, b] ⊂ R → C sind Riemannintegrierbar,
durch die Setzung:
∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
∫ b
Re f(x)dx + i Im f(x)dx
a
6.1.3 Eigenschaften des RIEMANN-Integrals
• Linearität des RIEMANN-Integrals: Sind f, g : [a, b] → R R-integrierbare Funktionen, so ist
auch jede Linearkombination αf + βg mit α, β ∈ R R-integrierbar und es gilt:
∫ b
a
∫ b ∫ b
(αf(x) + βg(x)) dx = α f(x)dx + β g(x)dx
a
a
• Monotonie des RIEMAN-Integrals: Seien f, g : [a, b] → R (beschränkte) R-integrierbare
Funktionen mit g(x) ≥ f(x), x ∈ [a, b]. Dann gilt auch:
∫ b
a
∫ b
a
g(x)dx ≥ f(x)dx.
• Abschätzung durch Rechtecke: Für eine (beschränkte) R-integrierbare Funktion f : [a, b] →
R mit m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] gilt:
m · (b − a) ≤
∫ b
a
f(x)dx ≤ M · (a − b).
• Definitheit des RIEMANN-Integrals: Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion mit f(x) ≥
0, x ∈ [a, b]. Dann gilt:
∫ b
f(x)dx = 0 ⇒ f ≡ 0
a
6.1.4 Das unbestimmte RIEMANN-Integral
• Unbestimmtes Integral: Eine FUnktion F : [a, b] → R heißt unbestimmtes Integral (oder
Stammfunktion) einer Funktion f : [a, b] → R, wenn sie diff’bar ist und wenn gilt:
F ′ (x) = f(x), ∀x ∈ [a, b]
Man schreibt dann:
∫
F(x) = f(x)dx
Die Stammfunktion ist immer nur bis auf eine additive Konstante C bestimmt, also eigentlich:
∫
f(x)dx = F(x) + C.
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 37 –