Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

11.2. Das RIEMANN-Integral im R n
11.2.6 Integraltransformationen
• Eindimensionaler Fall: Ein Intervall I = [a, b] ⊂ R werde durch ein Funktion ϕ auf ein
Intervall ϕ(I) = [α, β] ⊂ R abgebildet, wobei ϕ(a) = α, ϕ(b) = β gelte. Ist ϕ stetig diff’bar
und monoton wachsend/fallend (d.h. ϕ ′ > 0/ϕ ′ < 0), so gilt für jede über ϕ(I) integrierbare
Funktion f : ϕ(I) → R die Transformationsformel:
∫ β
α
f(y)dy = ±
∫ ϕ(b)
ϕ(a)
Insgesamt gilt dann also für ϕ ′ (x) ≠ 0:
∫
ϕ(I)
f(y)dy :=
∫ β
α
f(y)dy =
f(y)dy =
∫ b
a
∫ b
a
f(ϕ(x))(±ϕ ′ (x))dx.
f(ϕ(x)) |ϕ ′ (x)| dx.
Für affin-lineare Abbildungen ϕ(x) = ax + b gilt also: dy = |ϕ ′ (x)|dx = |a|dx.
• Transformationssatz: Die Menge D ⊂ R n sei offen und quadrierbar und die Funktion Φ :
D → R n stetig diff’bar, injektiv und Lipschitz-stetig. Dann ist die Menge Φ(D) quadrierbar
und für jede Funktion über Φ(D) integrierbare f ist die Funktion
F := f(Φ(·)) · | det Φ ′ (·)| : D → R
integrierbar. Für jede quadrierbare Teilmenge M ⊂ D gilt die Substitutionsregel
∫
∫
f(y)dy = f ( Φ(x) ) · ∣∣ det Φ ′ (x) ∣ · dx.
Φ(M)
M
• Sei D ⊂ R n offen und quadrierbar und Φ : D → R n eine stetig diff’bare, Lipschitz-stetige
Abbildung. Für jede quadrierbare Teilmenge M ⊂ D gilt dann:
∫
|Φ(M)| a
≤ |det Φ ′ (x)| dx.
• Standard-Koordinatensysteme:
1. ebene Polarkoordinaten: (x, y) = Φ(r, θ) := (r cos θ, r sin θ)
⇒ | det J Φ (r, θ)| =
∣ cos θ r sin θ
− sin θ r cos θ∣ = r
⇒ d(x, y) = r dr dθ.
2. Zylinderkoordinaten: (x, y, z) = Φ(r, θ, z) := (r cos θ, r sin θ, z)
⇒ d(x, y, z) = r dr dθ dz.
3. Kugelkoordinaten: (x, y, z) = Φ(r, θ, ϕ) := (r cos θ sin ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos ϕ)
⇒ d(x, y, z) = r 2 sin ϕ dr dθ dϕ.
M
• Rotationskörper: Das Volumen |D ϕ | des Rotationskörpers in R 3 mit der Randkurve x =
ϕ(z), z ∈ [a, b] ist bestimmt durch:
∫ b
|D ϕ | = π ϕ(z) 2 dz.
a
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 75 –