Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

4.2. Stetigkeit
so spricht man von einem Maximum der Minimum von f.
• Konvexität: Eine Funktion ist Konvex auf (a, b), wenn die Sekante durch ( a, f(a) ) und ( b, f(b) )
oberhalb des Funktionsgraphen liegt. Diese Gerade hat die Funktionsgleichung:
L(x, a, b) := b − x
b − a f(a) + x − a
b − a f(b)
Damit lässt sich die Konvexitätsbedingung auch formulieren als
f(x) ≤ L(x, r l , r r ) ∀r l , x, r r ∈ (a, b) mit r l < x < r r
Da die Punkte x ∈ (a, b) genau die Punkte b + λ · (a − b) = λa + (1 − λ)b ∀λ ∈ (0, 1)
sind, gilt bei Konvexität:
f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y)
4.2 Stetigkeit
• Stetigkeit einer Funktion: Eine Funktion f : D → K heißt stetig in einem Punkt x 0 ∈ D,
wenn für jede Folge (x n ) n∈N ⊂ D gilt:
x n → x 0 (n → ∞) ⇒ f(x n ) → f(x 0 ) (n → ∞)
Sie heißt stetig auf einer Menge M ⊆ D, wenn sie stetig in jedem Punkt x 0 ∈ D ist.
• Stetigkeit per ɛ/δ-Argument: Eine Funktion f : D → K heißt stetig in einem Punkt x 0 ∈ D,
wenn es zu jedem ɛ > 0 ein δ ɛ > 0 gibt, so dass für alle x ∈ D gilt:
In Quantorenschreibweise:
|x − x 0 | ≤ δ ɛ ⇒ |f(x) − f(x 0 )| < ɛ.
∀ɛ > 0 : ∃δ ɛ > 0 : ∀x ∈ D :
(
|x − x0 | ≤ δ ɛ ⇒ |f(x) − f(x 0 )| < ɛ ) .
• Eine Funktion f : D → K sei in einem Punkt x 0 ∈ D stetig und es gelt f(x 0 ) ≠ 0. Dann gibt es
eine ɛ-Umgebung U ɛ (x 0 ) derart, dass f(x) ≠ 0 für alle x ∈ U ɛ (x 0 ).
• Eigenschaften stetiger Funktionen:
1. Für eine stetige Funktion f : D → K ist auch jede Restriktion f ′ : D ′ → K auf ein
D ′ ⊂ D stetig.
2. Für eine in x 0 ∈ D stetige Funktion f : D → K sind auch Re f, Im f, |f|, n√ f stetig.
3. Für in x 0 ∈ D stetige Funktionen f, g : D → K sind auch f · g und f + g stetig. Ist weiter
g(x 0 ) ≠ 0, so ist auch f/g stetig.
4. Für eine in x 0 ∈ D stetige Funktion f : D → B ⊂ K und eine in f(x 0 ) ∈ B stetige
Funktion g : B → K ist auch ihre Komposition g ◦ f : D → K stetig in x 0 .
Dieses Lemma zeigt, dass die auf einem beschränkten Intervall stetigen Funktionen einen Vektorraum
bilden. Dieser wird mit C[a, b] bezeichnet. Siehe hierzu den Abschnitt 4.4.
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 23 –