Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

4.4. Der Funktionenraum C[a, b]
• Vollständigkeit: Der Raum C[a, b] ist vollständig bezüglich der gleichmäßigen Konvergenz,
d.h. Jede Cauchy-Folge von Funktionen aus C[a, b] besitzt einen Limes in C[a, b].
Damit bildet das Paar (C[a, b], ‖·‖ ∞
), des C[a, b]zusammen mit der Maximumsnorm einen
Banach-Raum.
• Satz von ARZELÀ-ASCOLI: Sei (f n ) n∈N ⊂ C[a, b] eine Folge von Funktionen in C[a, b],
welche gleichmäßig beschränkt und gleichgradig stetig sind:
∀ɛ > 0 ∃δ ɛ > 0 : ∀n ∈ N :
sup ‖f n ‖ ∞
< ∞
n∈N
max |f n (x) − f n (x ′ )|
x,x ′ ∈I; |x−x ′ |≤δ ɛ
< ɛ
Dann existiert eine Teilfolge (f nk ), welche gegen ein f ∈ C[a, b] konvergiert:
‖f nk − f‖ ∞
→ 0 (k → ∞)
Gleichmäßig beschränkt bedeutet, dass man eine Beschränkungskonstante für alle Folgenglieder
findet. Bei der gleichgradigen Stetigkeit hat man die selbe Abschätzung auf dem gesamten
Intervall unf für alle Elemente der Folge. Praktisch kann man die L-Stetigkeit mit einer Konstante
L, die für die gesamte Folge gilt nachweisen.
Dieser Satz entspricht in etwa dem Satz von Bolzano-Weierstraß, da er die Existenz einer konvergenten
Teilfolge auf dem Raum C[a, b]und damit von Häufungspunkten sichert. Der Satz
von Bolzano-Weierstraß leistet dies für den Zahlenraum R. Wichtig ist, dass für den unendlichdimensionalen
Funktionenraum zusätzliche Eigenschaften nötig sind, um die Existenz von
Häufungspunkten zu zeigen. Hier wird zusätzlich zur Beschränkheit noch die gleichgradige
Stetigkeit gefordert.
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 26 –