Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

6.1. Das RIEMANN-Integral
• Fundamentalsatz:
1. Für eine stetige Funktion f : [a, b] → R ist das bestimmte Riemann-Integral
F(x) :=
∫ x
a
f(y)dy, x ∈ [a, b]
aufgefaßt als Funktion der oberen Grenze x eine Stammfunktion von f. Jede weitere
Stammfunktion von f unterscheidet sich von F nur durch eine additive Konstante.
2. Ist umgekehrt die Funktion F : [a, b] → R Stammfunktion einer stetigen Funktion f, so
gilt:
∫ b
a
f(x)dx = F(x) ∣ b := F(b) − F(a).
a
Dieser Satz besagt, dass Integration und Differentiation zueinander inverse Prozesse sind:
d
dx
∫ x
a
f(y)dy = f(x),
∫ x
a
f ′ (y)dy = f(x) − f(a)
}{{}
= const
6.1.5 Berechnung von Integralen
• Partielle Integration: Seien f, g : I → R zwei stetig diff’bare Funktionen. Dann gilt:
∫ b
a
f(x)g ′ (x)dx = (fg)(x) ∣ ∫ b b − f ′ (x)g(x)dx
a
a
Die Formel folgt direkt aus der Integration der Produktregel für die Differentitaion: (fg) ′ (x) =
f ′ (x)g(x) + f(x)g ′ (x).
• Substitutionsregel: Seien f : I → R eine stetige und ϕ : [a, b] → I eine stetig diff’bare
Funktion. Dann gilt die sog. Substitutionsregel:
∫ b
a
Es gibt die instruktivere Schreibweise:
f(ϕ(y))ϕ ′ (y)dy =
∫ ϕ(b)
ϕ(a)
f(x)dx
∫ b
a
f(ϕ(y))dϕ(y) =
∫ ϕ(b)
ϕ(a)
f(x)dx;
dϕ(y) = ϕ ′ (y)dy
Oft
∫
wendet man obige Regel so an, dass man zu einer gegebenen, zu integrierenden Funktion
b
f(x)dx eine passende Funktion ϕ(y) sucht, mit der sich das Integral nach der Substitutions-
a
regel leicht lösen lässt. Man setzt dann x := ϕ(y) und dx
dy
ϕ ′ (y) · dy. Damit erhält man dann:
∫ b
a
f(x)dx =
∫ ϕ(b)
ϕ(a)
f(ϕ(y))dϕ(y) =
∫ ϕ(b)
ϕ(a)
= dϕ(y)
dy
= ϕ ′ (y) ⇒ dx =
f(ϕ(y))ϕ ′ (y)dy
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 38 –