Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

3.3. Exponentialreihe
• Potenzreihe: Eine Potenzreihe
∞∑
c n (x − x 0 ) n
n=0
konvergiert absolut für alle Argumente x ∈ K mit der Eigenschaft
|x − x 0 | < R :=
1
√
n
lim sup |cn | ;
n→∞
Für |x − x 0 | > R ist sie divergent. Die Grenze R heißt Konvergenzradius der Reihe.
∑
• Umordnungssatz: Für eine absolut konvergente Reihe s ∞ = ∞ a k konvergiert auch jede
Umordnung absolut gegen den selben Limes.
Als Beispiel dafür, dass der Umordnungssatz nur bei absoluter Konvergenz gilt, betrachte man
die alternierende harmonische Reihe:
s ∞ =
∞∑ (−1) k−1
.
k
k=1
Ihr Limes ändert sich, wenn man jeweils drei aufeinanderfolgende Glieder zusammenfasst.
k=1
3.3 Exponentialreihe
Die sog. Exponentialreihe
exp(x) :=
∞∑
k=0
ist eine Potenzreihe. Ihr Konvergenzradius ergibt sich zu:
x k
k!
R =
1
√
n
√ = lim
n
|n!| = ∞.
lim sup |1/n!| n→∞
n→∞
EULER’sche Zahl e: Es gilt:
exp(1) =
∞∑
k=0
(
1
k! = lim 1 + 1 n
= e.
n→∞ n)
Eigenschaften: Die Exponentialreihe hat folgende Eigenschaten:
1. exp(x + y) = exp(x) · exp(y)
2. exp(x) > 0 ∀x ∈ R
3. exp(−x) = 1
exp(x)
∀x ∈ R
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 20 –