Stoffzusammenfassung: Analysis 1 & 2 - jkrieger.de

KAPITEL 9
Funktionen mehrerer Veränderlicher
9.1 Stetigkeit
Im folgenden werden Funktionen f : D ⊂ K n → K betrachtet, deren Definitionsbereich offen ist.
Auch sind die folgenden Aussagen für beliebige Normen gültig, da alle Normen auf K n nach dem
Satz über die Normäquivalenz gleich sind.
• Bilder und Urbilder von stetigen Abbildungen: Für stetige Funktionen f : D ⊂ K n → K
mit D offen gilt:
1. Das Urbild f −1 (O) einer offenen Menge O ⊂ f(D) ist offen.
2. Das Urbild f −1 (A) einer abgeschlossenen Menge A ⊂ f(D) ist abgeschlossen.
3. Das Bild f(K) einer kompakten Menge K ⊂ D ist kompakt.
4. Das Bilf f(M) einer zusammenhängenden Menge M ⊂ D ist zusammenhängend.
• Stetigkeit: Eine Funktion f : D → K n heißt stetig in einem Punkt a ∈ D, wenn für jede Folge
(x (k) ) k∈N in D gilt:
x (k) → a (k → ∞) ⇒ f(x (k) ) → f(a) (k → ∞)
Sie heißt stetig in D, wenn sie in jedem Punkt aus D stetig ist.
• Sätz über stetige Funktionen: Eine Funtion f : D → K n ist genau dann in einem Punkt a ∈ D
stetig, wenn es zu jedem ɛ > 0 ein δ ɛ > 0 gibt, so dass für x ∈ D gilt:
‖x − a‖ < δ ɛ ⇒ ‖f(x) − f(a)‖ < ɛ.
Für zwei stetige Funktionen f, g : D → K n sind auch die Summe f + g, das Produkt f · g und
im Falle g(x) ≠ 0, x ∈ D auch der Quotient f/g stetig.
• Satz von der Beschränktheit: Eine stetige Funktion f : D ⊂ K n → K ist auf jeder kompakten
Menge K ⊂ D beschränkt, d.h. Es gibt eine Konstante M K mit:
sup |f(x)| ≤ M K .
x∈K
c○ 2004 by Jan Krieger (jan@jkrieger.de) – 50 –